| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Н-ти длину дуги кривой заданной уравнениями в полярных к-тах http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=23991 |
Страница 1 из 2 |
| Автор: | bigbang23 [ 06 май 2013, 15:04 ] |
| Заголовок сообщения: | Н-ти длину дуги кривой заданной уравнениями в полярных к-тах |
Помогите, пожалуйста, в нахождении дуги кривой при: ![]() Основная формула: ![]() Где [math](p)^2[/math] - производная. Пределы интегрирования известны - от 0 до pi/4. Помогите взять производную от ρ. Я так поняла - это первое действие. |
|
| Автор: | Alexdemath [ 06 май 2013, 15:24 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Н-ти длину дуги кривой заданной уравнениями в полярных к-тах |
Вы действительно не можете найти производную экспоненты [math]e^{a\,x}[/math]? |
|
| Автор: | bigbang23 [ 06 май 2013, 16:13 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Н-ти длину дуги кривой заданной уравнениями в полярных к-тах |
Alexdemath писал(а): :( Вы действительно не можете найти производную экспоненты [math]e^{a\,x}[/math]? Ну я так понимаю [math]e^{ax} = ae^{ax}[/math], но я не уверена. |
|
| Автор: | bigbang23 [ 06 май 2013, 16:18 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Н-ти длину дуги кривой заданной уравнениями в полярных к-тах |
Далее, я так понимаю, упрощаем подкоренное выражение в основной формуле с двумя ρ и подставляем в формулу. Верно? |
|
| Автор: | bigbang23 [ 06 май 2013, 17:43 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Н-ти длину дуги кривой заданной уравнениями в полярных к-тах |
Вот решение. Проверьте, пожалуйста. Производная от ρ: ![]() Упрощаем подкоренное выражение из основной формулы: ![]() Подставляем полученное в формулу (пределы интегрирования от 0 до pi/4) и получаем: ![]() Выносим константы за знак интеграла: ![]() Подставляем pi/4 и все. Правильно? |
|
| Автор: | bigbang23 [ 06 май 2013, 17:46 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Н-ти длину дуги кривой заданной уравнениями в полярных к-тах |
Особенно интересен момент: правильно ли взяла интеграл из экспоненты в степени 8фи/3? |
|
| Автор: | bigbang23 [ 07 май 2013, 15:50 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Н-ти длину дуги кривой заданной уравнениями в полярных к-тах |
Проверьте, пожалуйста, решение
|
|
| Автор: | Wersel [ 07 май 2013, 21:45 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Н-ти длину дуги кривой заданной уравнениями в полярных к-тах |
Вы очень интересно вынесли число [math]400[/math] из под корня. |
|
| Автор: | Avgust [ 07 май 2013, 22:55 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Н-ти длину дуги кривой заданной уравнениями в полярных к-тах |
Тут просто. Сначала поймем задачу. График такой: ![]() Нам нужно найти длину сплошной синей линии. Для простоты набора формул обозначу "ро" через r и "фи" через t. Производная будет равна: [math]r'=\frac{16}{3} \exp \left ( \frac{4t}{3}\right )[/math] Таким образом: [math]L=\int \limits_0^{\frac{\pi}{4}}\sqrt{r^2+(r')^2}\,dt=\frac{20}{3}\int \limits_0^{\frac{\pi}{4}}\exp \left ( \frac{4t}{3} \right ) \,dt=5 \exp \left ( \frac{4t}{3} \right ) \bigg |_0^{\frac{\pi}{4}}=5 \left [ \exp \left (\frac{\pi}{3} \right )-1\right ]\approx 9.248[/math] Вы же корень из 400 не взяли и три четверти лишние добавили. Подставлять надо оба предела интегрирования. Ноль тоже дает число. |
|
| Автор: | bigbang23 [ 08 май 2013, 14:24 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Н-ти длину дуги кривой заданной уравнениями в полярных к-тах |
Avgust писал(а): Тут просто. Сначала поймем задачу. График такой: ![]() Нам нужно найти длину сплошной синей линии. Для простоты набора формул обозначу "ро" через r и "фи" через t. Производная будет равна: [math]r'=\frac{16}{3} \exp \left ( \frac{4t}{3}\right )[/math] Таким образом: [math]L=\int \limits_0^{\frac{\pi}{4}}\sqrt{r^2+(r')^2}\,dt=\frac{20}{3}\int \limits_0^{\frac{\pi}{4}}\exp \left ( \frac{4t}{3} \right ) \,dt=5 \exp \left ( \frac{4t}{3} \right ) \bigg |_0^{\frac{\pi}{4}}=5 \left [ \exp \left (\frac{\pi}{3} \right )-1\right ]\approx 9.248[/math] Вы же корень из 400 не взяли и три четверти лишние добавили. Подставлять надо оба предела интегрирования. Ноль тоже дает число. Спасибо Вам огромное! Ошибки поняла. |
|
| Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|