Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Н-ти длину дуги кривой заданной уравнениями в полярных к-тах
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=23991
Страница 1 из 2

Автор:  bigbang23 [ 06 май 2013, 15:04 ]
Заголовок сообщения:  Н-ти длину дуги кривой заданной уравнениями в полярных к-тах

Помогите, пожалуйста, в нахождении дуги кривой при:
Изображение
Основная формула:
Изображение
Где [math](p)^2[/math] - производная. Пределы интегрирования известны - от 0 до pi/4.

Помогите взять производную от ρ. Я так поняла - это первое действие.

Автор:  Alexdemath [ 06 май 2013, 15:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Н-ти длину дуги кривой заданной уравнениями в полярных к-тах

:(

Вы действительно не можете найти производную экспоненты [math]e^{a\,x}[/math]?

Автор:  bigbang23 [ 06 май 2013, 16:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Н-ти длину дуги кривой заданной уравнениями в полярных к-тах

Alexdemath писал(а):
:(

Вы действительно не можете найти производную экспоненты [math]e^{a\,x}[/math]?

Ну я так понимаю [math]e^{ax} = ae^{ax}[/math], но я не уверена.

Автор:  bigbang23 [ 06 май 2013, 16:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: Н-ти длину дуги кривой заданной уравнениями в полярных к-тах

Далее, я так понимаю, упрощаем подкоренное выражение в основной формуле с двумя ρ и подставляем в формулу. Верно?

Автор:  bigbang23 [ 06 май 2013, 17:43 ]
Заголовок сообщения:  Re: Н-ти длину дуги кривой заданной уравнениями в полярных к-тах

Вот решение. Проверьте, пожалуйста.

Производная от ρ:
Изображение

Упрощаем подкоренное выражение из основной формулы:
Изображение

Подставляем полученное в формулу (пределы интегрирования от 0 до pi/4) и получаем:
Изображение

Выносим константы за знак интеграла:
Изображение
Подставляем pi/4 и все.

Правильно?

Автор:  bigbang23 [ 06 май 2013, 17:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Н-ти длину дуги кривой заданной уравнениями в полярных к-тах

Особенно интересен момент: правильно ли взяла интеграл из экспоненты в степени 8фи/3?

Автор:  bigbang23 [ 07 май 2013, 15:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Н-ти длину дуги кривой заданной уравнениями в полярных к-тах

Проверьте, пожалуйста, решение :)

Автор:  Wersel [ 07 май 2013, 21:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Н-ти длину дуги кривой заданной уравнениями в полярных к-тах

Вы очень интересно вынесли число [math]400[/math] из под корня.

Автор:  Avgust [ 07 май 2013, 22:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Н-ти длину дуги кривой заданной уравнениями в полярных к-тах

Тут просто. Сначала поймем задачу. График такой:

Изображение

Нам нужно найти длину сплошной синей линии.

Для простоты набора формул обозначу "ро" через r и "фи" через t.

Производная будет равна:

[math]r'=\frac{16}{3} \exp \left ( \frac{4t}{3}\right )[/math]

Таким образом: [math]L=\int \limits_0^{\frac{\pi}{4}}\sqrt{r^2+(r')^2}\,dt=\frac{20}{3}\int \limits_0^{\frac{\pi}{4}}\exp \left ( \frac{4t}{3} \right ) \,dt=5 \exp \left ( \frac{4t}{3} \right ) \bigg |_0^{\frac{\pi}{4}}=5 \left [ \exp \left (\frac{\pi}{3} \right )-1\right ]\approx 9.248[/math]

Вы же корень из 400 не взяли и три четверти лишние добавили.
Подставлять надо оба предела интегрирования. Ноль тоже дает число.

Автор:  bigbang23 [ 08 май 2013, 14:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Н-ти длину дуги кривой заданной уравнениями в полярных к-тах

Avgust писал(а):
Тут просто. Сначала поймем задачу. График такой:

Изображение

Нам нужно найти длину сплошной синей линии.

Для простоты набора формул обозначу "ро" через r и "фи" через t.

Производная будет равна:

[math]r'=\frac{16}{3} \exp \left ( \frac{4t}{3}\right )[/math]

Таким образом: [math]L=\int \limits_0^{\frac{\pi}{4}}\sqrt{r^2+(r')^2}\,dt=\frac{20}{3}\int \limits_0^{\frac{\pi}{4}}\exp \left ( \frac{4t}{3} \right ) \,dt=5 \exp \left ( \frac{4t}{3} \right ) \bigg |_0^{\frac{\pi}{4}}=5 \left [ \exp \left (\frac{\pi}{3} \right )-1\right ]\approx 9.248[/math]

Вы же корень из 400 не взяли и три четверти лишние добавили.
Подставлять надо оба предела интегрирования. Ноль тоже дает число.

Спасибо Вам огромное! Ошибки поняла.

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/