Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти объем тела ограниченного плоскостями
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=23972
Страница 1 из 2

Автор:  bigbang23 [ 05 май 2013, 16:37 ]
Заголовок сообщения:  Найти объем тела ограниченного плоскостями

Помогите, пожалуйста, найти объем тела, ограниченного плоскостями:

Изображение

Формула:

Изображение

Какой здесь будет ход решения?

Автор:  Alexdemath [ 05 май 2013, 16:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти объем тела ограниченного плоскостями

Например, так

[math]V= \iiint\limits_{T}dxdydz= \iint\limits_{x^2+3y^2\leqslant 1}dxdy \int\limits_{x^2+3y^2}^{1}dz= \iint\limits_{x^2+3y^2\leqslant 1}(1-x^2-3y^2)dxdy[/math]

Перейдём в обобщённые полярные координаты [math]\begin{cases}x=r\cos\varphi,\\ y=\dfrac{r}{\sqrt{3}}\sin\varphi,\end{cases}|J|=1\cdot \dfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot r[/math]
[math]V= \dfrac{1}{\sqrt{3}}\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi \int\limits_{0}^{1}(1-r^2)r\,dr= \ldots[/math]

Автор:  bigbang23 [ 05 май 2013, 17:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти объем тела ограниченного плоскостями

Ой, это что-то черезчур сложно)))) Большое спасибо, но я на парах решала гараздо проще, просто задания не аналогичные.
Было такое задание:
Найти объем тела ограниченного элиптическим параболоидом z = x^2/a^2 + y^2/b^2, z = H.
В моем случае как-то по-другому,но решение проще)))

Автор:  Alexdemath [ 05 май 2013, 18:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти объем тела ограниченного плоскостями

bigbang23 писал(а):
Ой, это что-то черезчур сложно)))) Большое спасибо, но я на парах решала гараздо проще, просто задания не аналогичные.
Было такое задание:
Найти объем тела ограниченного элиптическим параболоидом z = x^2/a^2 + y^2/b^2, z = H.
В моем случае как-то по-другому,но решение проще)))

Ну напишите, как Вы решали это задание.

Автор:  bigbang23 [ 05 май 2013, 19:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти объем тела ограниченного плоскостями

Alexdemath писал(а):
bigbang23 писал(а):
Ой, это что-то черезчур сложно)))) Большое спасибо, но я на парах решала гараздо проще, просто задания не аналогичные.
Было такое задание:
Найти объем тела ограниченного элиптическим параболоидом z = x^2/a^2 + y^2/b^2, z = H.
В моем случае как-то по-другому,но решение проще)))

Ну напишите, как Вы решали это задание.

В разрезе парабалаоида площадью будет элипс. Он параллелен оси Oxy. Далее пишем уравнение парабалоида в таком вот виде:
Изображение
В таком случае полуоси элипса равняются:
Изображение
А его плоскость:
Изображение
В итоге подставляем фомулу для объема:
Изображение
При этом пределы интегрирования от 0 до H.

Автор:  Alexdemath [ 05 май 2013, 19:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти объем тела ограниченного плоскостями

bigbang23

Этот пример аналогичен примеру Изображение

Подставьте числа и всё.

Автор:  bigbang23 [ 05 май 2013, 19:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти объем тела ограниченного плоскостями

Я так понимаю a и b равны единице?
Выходит:
Изображение
После чего подставляем в главную формулу с пределами интегрирования от нуля до единицы?

Автор:  bigbang23 [ 05 май 2013, 19:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти объем тела ограниченного плоскостями

Тройку упустила.

Автор:  Alexdemath [ 05 май 2013, 20:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти объем тела ограниченного плоскостями

bigbang23 писал(а):
Я так понимаю a и b равны единице?

Неверно. Подсказка

[math]x^2+3y^2=1\quad \Leftrightarrow\quad \frac{x^2}{1^2}+\frac{y^2}{\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2}=1[/math].

Автор:  bigbang23 [ 05 май 2013, 20:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти объем тела ограниченного плоскостями

Alexdemath писал(а):
bigbang23 писал(а):
Я так понимаю a и b равны единице?

Неверно. Подсказка

[math]x^2+3y^2=1\quad \Leftrightarrow\quad \frac{x^2}{1^2}+\frac{y^2}{\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2}=1[/math].

А))) вот как! Спасибо.

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/