Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти площадь фигур
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=23935
Страница 1 из 1

Автор:  bigbang23 [ 03 май 2013, 18:48 ]
Заголовок сообщения:  Найти площадь фигур

Помогите, пожалуйста с заданием.

Найти площадь фигур, которые ограничены линиями, заданными параметрическими уравнениями.

Условие:
Изображение

Автор:  Wersel [ 03 май 2013, 18:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти площадь фигур

Что это Вы такое делали? А главное - зачем?

Для вычисления площади фигуры, заданной в параметрической форме, есть отдельная формула.

Автор:  bigbang23 [ 03 май 2013, 18:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти площадь фигур

Да, вы правы. Спасибо.

Автор:  Avgust [ 03 май 2013, 20:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти площадь фигур

[math]S=4\cdot 24 \cdot 6 \int _{0}^{\frac{\pi}{2} }\! \cos^4(t) \sin^2(t) {dt}=18 \pi[/math]

Как брать интегралы от синусов и косинусов в степени n - см. мою статью из книги "Математика для вундеркиндов" http://renuar911.narod.ru/part15.htm

Можно и в декартовых координатах (если избавиться от параметра t):

[math]S={4 \cdot \frac {1}{864}\,\int _{0}^{24}\! \left( 144-6\,\sqrt [3]{24\, x^2}\, \right) ^{\frac 32}{dx}=18 \pi[/math]

Ответы совпадают. Значит, все верно.

Ну, а сама фигура выглядит так: http://www.wolframalpha.com/input/?i=x% ... 5E3%28t%29

Вы знаете, как эта фигура называется?

Автор:  bigbang23 [ 03 май 2013, 20:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти площадь фигур

Циклоида, астроида, синусоида, не?

Решали мы задание с такой фигурой, только нужно было найти длину. Названий не записывала. Помню названия фигур преподователь называл.

Автор:  bigbang23 [ 03 май 2013, 20:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти площадь фигур

Спасибо вам большое за помощь)

Автор:  bigbang23 [ 03 май 2013, 20:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти площадь фигур

Avgust писал(а):
[math]S=4\cdot 24 \cdot 6 \int _{0}^{\frac{\pi}{2} }\! \cos^4(t) \sin^2(t) {dt}=18 \pi[/math]

Можно и в декартовых координатах (если избавиться от параметра t):

[math]S={4 \cdot \frac {1}{864}\,\int _{0}^{24}\! \left( 144-6\,\sqrt [3]{24\, x^2}\, \right) ^{\frac 32}{dx}=18 \pi[/math]

Ответы совпадают. Значит, все верно.

Ну, а сама фигура выглядит так: http://www.wolframalpha.com/input/?i=x% ... 5E3%28t%29

Вы знаете, как эта фигура называется?

Подскажите, пожалуйста, от куда столько констант перед интегралом: 4, 24, 6

Автор:  Avgust [ 03 май 2013, 20:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти площадь фигур

Это астроида. Можно вычислить площадь ее в первом квадранте и умножить на 4. Отсюда четверка. Далее:

[math]S=4 \int \limits_0^{\frac{\pi}{2}}24\, \cos^3(t)\cdot \big [ 2 \cdot \sin^3(t) \big ]' \, dt[/math]

Если возьмете производную внутри интеграла, то получите те самые коэффициенты.

Автор:  bigbang23 [ 03 май 2013, 21:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти площадь фигур

Avgust писал(а):
Это астроида. Можно вычислить площадь ее в первом квадранте и умножить на 4. Отсюда четверка. Далее:

[math]S=4 \int \limits_0^{\frac{\pi}{2}}24\, \cos^3(t)\cdot \big [ 2 \cdot \sin^3(t) \big ]' \, dt[/math]

Если возьмете производную внутри интеграла, то получите те самые коэффициенты.

Разобралась, огромное вам спасибо.

Отдельное спасибо за полезную книгу. :)

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/