| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Найти площадь фигур http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=23935 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | bigbang23 [ 03 май 2013, 18:48 ] |
| Заголовок сообщения: | Найти площадь фигур |
Помогите, пожалуйста с заданием. Найти площадь фигур, которые ограничены линиями, заданными параметрическими уравнениями. Условие:
|
|
| Автор: | Wersel [ 03 май 2013, 18:51 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти площадь фигур |
Что это Вы такое делали? А главное - зачем? Для вычисления площади фигуры, заданной в параметрической форме, есть отдельная формула. |
|
| Автор: | bigbang23 [ 03 май 2013, 18:56 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти площадь фигур |
Да, вы правы. Спасибо. |
|
| Автор: | Avgust [ 03 май 2013, 20:08 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти площадь фигур |
[math]S=4\cdot 24 \cdot 6 \int _{0}^{\frac{\pi}{2} }\! \cos^4(t) \sin^2(t) {dt}=18 \pi[/math] Как брать интегралы от синусов и косинусов в степени n - см. мою статью из книги "Математика для вундеркиндов" http://renuar911.narod.ru/part15.htm Можно и в декартовых координатах (если избавиться от параметра t): [math]S={4 \cdot \frac {1}{864}\,\int _{0}^{24}\! \left( 144-6\,\sqrt [3]{24\, x^2}\, \right) ^{\frac 32}{dx}=18 \pi[/math] Ответы совпадают. Значит, все верно. Ну, а сама фигура выглядит так: http://www.wolframalpha.com/input/?i=x% ... 5E3%28t%29 Вы знаете, как эта фигура называется? |
|
| Автор: | bigbang23 [ 03 май 2013, 20:32 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти площадь фигур |
Циклоида, астроида, синусоида, не? Решали мы задание с такой фигурой, только нужно было найти длину. Названий не записывала. Помню названия фигур преподователь называл. |
|
| Автор: | bigbang23 [ 03 май 2013, 20:33 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти площадь фигур |
Спасибо вам большое за помощь) |
|
| Автор: | bigbang23 [ 03 май 2013, 20:46 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти площадь фигур |
Avgust писал(а): [math]S=4\cdot 24 \cdot 6 \int _{0}^{\frac{\pi}{2} }\! \cos^4(t) \sin^2(t) {dt}=18 \pi[/math] Можно и в декартовых координатах (если избавиться от параметра t): [math]S={4 \cdot \frac {1}{864}\,\int _{0}^{24}\! \left( 144-6\,\sqrt [3]{24\, x^2}\, \right) ^{\frac 32}{dx}=18 \pi[/math] Ответы совпадают. Значит, все верно. Ну, а сама фигура выглядит так: http://www.wolframalpha.com/input/?i=x% ... 5E3%28t%29 Вы знаете, как эта фигура называется? Подскажите, пожалуйста, от куда столько констант перед интегралом: 4, 24, 6 |
|
| Автор: | Avgust [ 03 май 2013, 20:59 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти площадь фигур |
Это астроида. Можно вычислить площадь ее в первом квадранте и умножить на 4. Отсюда четверка. Далее: [math]S=4 \int \limits_0^{\frac{\pi}{2}}24\, \cos^3(t)\cdot \big [ 2 \cdot \sin^3(t) \big ]' \, dt[/math] Если возьмете производную внутри интеграла, то получите те самые коэффициенты. |
|
| Автор: | bigbang23 [ 03 май 2013, 21:09 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти площадь фигур |
Avgust писал(а): Это астроида. Можно вычислить площадь ее в первом квадранте и умножить на 4. Отсюда четверка. Далее: [math]S=4 \int \limits_0^{\frac{\pi}{2}}24\, \cos^3(t)\cdot \big [ 2 \cdot \sin^3(t) \big ]' \, dt[/math] Если возьмете производную внутри интеграла, то получите те самые коэффициенты. Разобралась, огромное вам спасибо. Отдельное спасибо за полезную книгу.
|
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|