Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Неопределенный
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=23612
Страница 1 из 2

Автор:  marina92 [ 20 апр 2013, 21:44 ]
Заголовок сообщения:  Неопределенный

[math]\frac{ dx}{ x^3 \sqrt[3]{2-x^3}}}[/math]
Пробовала заменой [math]t^3=2-x^3[/math] , формулы для дифференциальных биномов не подошли. Помогите решить или натолкните хотя бы. Спасибо

Автор:  Ellipsoid [ 20 апр 2013, 21:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределенный

Если с биномами никак, то не выражается в элементарных функциях.

Автор:  mad_math [ 20 апр 2013, 21:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределенный

marina92 писал(а):
формулы для дифференциальных биномов не подошли
"Вы просто не умеете их готовить"(с)
Ваш биномиальный дифференциал [math]x^m(a+bx^n)^p=x^{-3}(2-x^3)^{-\frac{1}{3}}dx[/math], откуда [math]m=-3,n=3,p=-\frac{1}{3}[/math].
Первая и вторая подстановки Чебышёва не подходят, так как [math]p[/math] и [math]\frac{m+1}{n}[/math] не целые, зато [math]\frac{m+1}{n}+p=-\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=-1[/math] - целое. Значит должна помочь третья подстановка Чебышёва, которая имеет вид [math]ax^{-n}+b=z^s[/math], где [math]p=\frac{r}{s}[/math].
Получаем [math]2x^{-3}-1=z^3[/math]. Дифференцируем [math]-6x^{-4}dx=3z^2dz\Rightarrow -2x^{-4}dx=z^2dz[/math]
Преобразовываем интеграл:
[math]\int\frac{dx}{x^3\sqrt[3]{2-x^3}}=\int\frac{dx}{x^3\sqrt[3]{x^3(2x^{-3}-1)}}=\int\frac{dx}{x^4\sqrt[3]{2x^{-3}-1}}=-\frac{1}{2}\int\frac{-2x^{-4}dx}{\sqrt[3]{2x^{-3}-1}}=...[/math]
Дальше уже дело техники.

Автор:  marina92 [ 20 апр 2013, 22:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределенный

Спасибо!
Преобразование интеграла просто изумительно :)

Автор:  pewpimkin [ 20 апр 2013, 23:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределенный

Изображение

Там все же была замена для второго случая, для третьего вот эта

Автор:  mad_math [ 21 апр 2013, 00:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределенный

pewpimkin
В справочнике Выгодского подстановка, которую я использовала значится третьим способом. :dntknow:
Ответ в моём варианте [math]-\frac{\sqrt[3]{(2-x^3)^2}}{4x^2}+C[/math].
У Вас тройка откуда-то лишняя в коэффициенте.

Автор:  pewpimkin [ 21 апр 2013, 00:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределенный

Ну, можно проверить( про тройку). А какая тогда третья замена? Я брал формулы с демидовича. Сейчас пойду посмотрю, может и задача с Демидовича

Автор:  pewpimkin [ 21 апр 2013, 00:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределенный

Нет в Демидовиче. Тройкой больше, тройкой меньше. Пойду покурю( пока все спят- ругаются), продифференциирую.

Автор:  mad_math [ 21 апр 2013, 00:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределенный

Да это одна и та же подстановка:
[math]z=\frac{(2-x^3)^{\frac{1}{3}}}{x}\Rightarrow z^3=\frac{2-x^3}{x^3}=\frac{2}{x^3}-\frac{x^3}{x^3}=2x^{-3}-1[/math] :)
Просто в моём варианте преобразований чуть меньше.

Автор:  mad_math [ 21 апр 2013, 00:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределенный

pewpimkin писал(а):
Ну, можно проверить( про тройку).
Вольфрама мне выдала ответ тоже без тройки, но я ей тоже не всегда верю :)

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/