Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Как решить интеграл?
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=23526
Страница 1 из 2

Автор:  Ivokhina [ 17 апр 2013, 15:02 ]
Заголовок сообщения:  Как решить интеграл?

Пожалуйста помогите решить:

1) [math]\int\limits_{-2}^{2}\frac{xdx}{2^{x}-4}[/math]

Автор:  Minotaur [ 18 апр 2013, 03:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Как решить интеграл?

Это несобственный интеграл второго рода от знакопеременной функции, имеющей особую точку [math]x=2[/math]. В ней подинтегральная функция обращается в [math]-\infty[/math]. Но его исследование осложняется тем, что первообразная подинтегральной функции не выражается простыми функциями. Поэтому немного преобразуем его:
[math]\begin{aligned}\int\limits_{-2}^2\frac{x}{2^x-4}dx&=\int\limits_{-2}^0\frac{x}{2^x-4}dx-\int\limits_0^2\frac{x}{4-2^x}dx\end{aligned}[/math]

Функция в первом слагаемом [math]f(x)=\frac{x}{2^x-4}[/math] определена и монотонно убывает на промежутке [math][-2;0][/math], следовательно она интегрируема на нем (т.е. значение интеграла конечно). Таким образом сходимость исходного интеграла зависит от второго слагаемого. Рассмотрим его подробнее. Пусть [math]f(x)=\frac{x}{4-2^x}[/math], [math]g(x)=\frac{2}{4-2^x}[/math]; обе эти функции на промежутке [math][0;2)[/math] положительны и [math]0\le f(x) \le g(x)[/math]. Рассмотрим предел [math]\lim_{x\to2}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to2}\frac{\frac{x}{4-2^x}}{\frac{2}{4-2^x}}=\lim_{x\to2}\frac{x}{2}=1[/math], следовательно по признаку сравнения в предельной форме интеграл [math]\int\limits_0^2\frac{x}{4-2^x}dx[/math] сходится (расходится), если сходится (расходится) интеграл [math]\int\limits_0^2\frac{2}{4-2^x}dx[/math].
Исследуем интеграл [math]\int\limits_0^2\frac{2}{4-2^x}dx[/math]:
[math]\begin{aligned}\int\limits_0^2\frac{2}{4-2^x}dx&=\int\limits_0^2\frac{4-2^x+2^x}{2\left(4-2^x \right )}dx=\int\limits_0^2\left(\frac{1}{2}+\frac{2^x\ln2}{2\left(4-2^x\right)\ln2} \right )dx=1-\frac{1}{2\ln2}\int\limits_0^2\frac{-2^x\ln2}{4-2^x}dx=\\&=1-\frac{1}{\ln4}\lim_{t\to2}\int\limits_0^td\ln(4-2^x)=1-\frac{1}{\ln4}\lim_{t\to2}\left(\ln\left(4-2^t\right)-\ln\left(4-2^0 \right)\right)=\\&=1-\frac{1}{\ln4}\lim_{t\to2}\ln\frac{4-2^t}{3}=1-\frac{1}{\ln4}\cdot\ln\frac{4-4}{3}=1-\frac{\ln0}{\ln4}=1-(-\infty)=\infty\end{aligned}[/math]
.

Таким образом, интеграл [math]\int\limits_0^2\frac{2}{4-2^x}dx[/math] расходится, следовательно интеграл [math]\int\limits_0^2\frac{x}{4-2^x}dx[/math] также расходится, следовательно исходный интеграл также расходится.

Автор:  Avgust [ 18 апр 2013, 07:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Как решить интеграл?

Да, интеграл расходится:

Изображение

Автор:  mad_math [ 18 апр 2013, 10:00 ]
Заголовок сообщения:  Re: Как решить интеграл?

Ну вот опять! Надо ж решить интеграл, а вы тут развели: "сходится", "расходится"...

Автор:  Yurik [ 18 апр 2013, 10:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Как решить интеграл?

mad_math
Там в вопросе об интергале речи не было:
Ivokhina писал(а):
Пожалуйста помогите решить:

Наверное, пример.
PS. Виноват, был заголовок Помогите решить интеграл.

Автор:  mad_math [ 18 апр 2013, 10:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Как решить интеграл?

Там в заголовке "Как решить интеграл?". А заголовок - это, собственно, визитка, позволяющая понять некоторые вещи о ТС.

Автор:  Minotaur [ 18 апр 2013, 13:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Как решить интеграл?

mad_math писал(а):
Там в заголовке "Как решить интеграл?". А заголовок - это, собственно, визитка, позволяющая понять некоторые вещи о ТС.
Полно Вам ворчать! :) Я и решил... что он расходится. :)

Автор:  valentina [ 18 апр 2013, 13:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Как решить интеграл?

А напиши ТС «помогите взять интеграл», так скажут, что это уже собственность форума, мол правила читать надо

Автор:  Human [ 18 апр 2013, 14:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: Как решить интеграл?

Minotaur

Проще тогда уж и знаменатель заменить:

[math]2^x-4=4\left(2^{x-2}-1\right)\sim4(x-2)\ln2[/math] при [math]x\to2[/math].

Всё-таки о сходимости интеграла [math]\int\limits_0^2\frac{dx}{x-2}[/math] судить проще. Кроме того, в предельном признаке сравнения не обязательно сравнивать функции друг с другом, соответствующее неравенство и так будет выполняться в некоторой окрестности особой точки в силу эквивалентности этих функций.

Автор:  Minotaur [ 18 апр 2013, 14:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Как решить интеграл?

Human писал(а):
Minotaur

Проще тогда уж и знаменатель заменить:

[math]2^x-4=4\left(2^{x-2}-1\right)\sim4(x-2)\ln2[/math] при [math]x\to2[/math].

Всё-таки о сходимости интеграла [math]\int\limits_0^2\frac{dx}{x-2}[/math] судить проще. Кроме того, в предельном признаке сравнения не обязательно сравнивать функции друг с другом, соответствующее неравенство и так будет выполняться в некоторой окрестности особой точки в силу эквивалентности этих функций.

Спасибо, Human. Но с университета не люблю эквивалентности. :)

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/