| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Как решить интеграл? http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=23526 |
Страница 1 из 2 |
| Автор: | Ivokhina [ 17 апр 2013, 15:02 ] |
| Заголовок сообщения: | Как решить интеграл? |
Пожалуйста помогите решить: 1) [math]\int\limits_{-2}^{2}\frac{xdx}{2^{x}-4}[/math] |
|
| Автор: | Minotaur [ 18 апр 2013, 03:56 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Как решить интеграл? |
Это несобственный интеграл второго рода от знакопеременной функции, имеющей особую точку [math]x=2[/math]. В ней подинтегральная функция обращается в [math]-\infty[/math]. Но его исследование осложняется тем, что первообразная подинтегральной функции не выражается простыми функциями. Поэтому немного преобразуем его: [math]\begin{aligned}\int\limits_{-2}^2\frac{x}{2^x-4}dx&=\int\limits_{-2}^0\frac{x}{2^x-4}dx-\int\limits_0^2\frac{x}{4-2^x}dx\end{aligned}[/math] Функция в первом слагаемом [math]f(x)=\frac{x}{2^x-4}[/math] определена и монотонно убывает на промежутке [math][-2;0][/math], следовательно она интегрируема на нем (т.е. значение интеграла конечно). Таким образом сходимость исходного интеграла зависит от второго слагаемого. Рассмотрим его подробнее. Пусть [math]f(x)=\frac{x}{4-2^x}[/math], [math]g(x)=\frac{2}{4-2^x}[/math]; обе эти функции на промежутке [math][0;2)[/math] положительны и [math]0\le f(x) \le g(x)[/math]. Рассмотрим предел [math]\lim_{x\to2}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to2}\frac{\frac{x}{4-2^x}}{\frac{2}{4-2^x}}=\lim_{x\to2}\frac{x}{2}=1[/math], следовательно по признаку сравнения в предельной форме интеграл [math]\int\limits_0^2\frac{x}{4-2^x}dx[/math] сходится (расходится), если сходится (расходится) интеграл [math]\int\limits_0^2\frac{2}{4-2^x}dx[/math]. Исследуем интеграл [math]\int\limits_0^2\frac{2}{4-2^x}dx[/math]: [math]\begin{aligned}\int\limits_0^2\frac{2}{4-2^x}dx&=\int\limits_0^2\frac{4-2^x+2^x}{2\left(4-2^x \right )}dx=\int\limits_0^2\left(\frac{1}{2}+\frac{2^x\ln2}{2\left(4-2^x\right)\ln2} \right )dx=1-\frac{1}{2\ln2}\int\limits_0^2\frac{-2^x\ln2}{4-2^x}dx=\\&=1-\frac{1}{\ln4}\lim_{t\to2}\int\limits_0^td\ln(4-2^x)=1-\frac{1}{\ln4}\lim_{t\to2}\left(\ln\left(4-2^t\right)-\ln\left(4-2^0 \right)\right)=\\&=1-\frac{1}{\ln4}\lim_{t\to2}\ln\frac{4-2^t}{3}=1-\frac{1}{\ln4}\cdot\ln\frac{4-4}{3}=1-\frac{\ln0}{\ln4}=1-(-\infty)=\infty\end{aligned}[/math] .Таким образом, интеграл [math]\int\limits_0^2\frac{2}{4-2^x}dx[/math] расходится, следовательно интеграл [math]\int\limits_0^2\frac{x}{4-2^x}dx[/math] также расходится, следовательно исходный интеграл также расходится. |
|
| Автор: | Avgust [ 18 апр 2013, 07:50 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Как решить интеграл? |
Да, интеграл расходится:
|
|
| Автор: | mad_math [ 18 апр 2013, 10:00 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Как решить интеграл? |
Ну вот опять! Надо ж решить интеграл, а вы тут развели: "сходится", "расходится"... |
|
| Автор: | Yurik [ 18 апр 2013, 10:04 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Как решить интеграл? |
| Автор: | mad_math [ 18 апр 2013, 10:08 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Как решить интеграл? |
Там в заголовке "Как решить интеграл?". А заголовок - это, собственно, визитка, позволяющая понять некоторые вещи о ТС. |
|
| Автор: | Minotaur [ 18 апр 2013, 13:44 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Как решить интеграл? |
mad_math писал(а): Там в заголовке "Как решить интеграл?". А заголовок - это, собственно, визитка, позволяющая понять некоторые вещи о ТС. Полно Вам ворчать! Я и решил... что он расходится.
|
|
| Автор: | valentina [ 18 апр 2013, 13:56 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Как решить интеграл? |
| Автор: | Human [ 18 апр 2013, 14:15 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Как решить интеграл? |
Minotaur Проще тогда уж и знаменатель заменить: [math]2^x-4=4\left(2^{x-2}-1\right)\sim4(x-2)\ln2[/math] при [math]x\to2[/math]. Всё-таки о сходимости интеграла [math]\int\limits_0^2\frac{dx}{x-2}[/math] судить проще. Кроме того, в предельном признаке сравнения не обязательно сравнивать функции друг с другом, соответствующее неравенство и так будет выполняться в некоторой окрестности особой точки в силу эквивалентности этих функций. |
|
| Автор: | Minotaur [ 18 апр 2013, 14:17 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Как решить интеграл? |
Human писал(а): Minotaur Проще тогда уж и знаменатель заменить: [math]2^x-4=4\left(2^{x-2}-1\right)\sim4(x-2)\ln2[/math] при [math]x\to2[/math]. Всё-таки о сходимости интеграла [math]\int\limits_0^2\frac{dx}{x-2}[/math] судить проще. Кроме того, в предельном признаке сравнения не обязательно сравнивать функции друг с другом, соответствующее неравенство и так будет выполняться в некоторой окрестности особой точки в силу эквивалентности этих функций. Спасибо, Human. Но с университета не люблю эквивалентности.
|
|
| Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|