Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 13 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
| Автор | Сообщение | |
|---|---|---|
| Ivokhina |
|
|
|
1) [math]\int\limits_{-2}^{2}\frac{xdx}{2^{x}-4}[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| Minotaur |
|
|
|
Это несобственный интеграл второго рода от знакопеременной функции, имеющей особую точку [math]x=2[/math]. В ней подинтегральная функция обращается в [math]-\infty[/math]. Но его исследование осложняется тем, что первообразная подинтегральной функции не выражается простыми функциями. Поэтому немного преобразуем его:
[math]\begin{aligned}\int\limits_{-2}^2\frac{x}{2^x-4}dx&=\int\limits_{-2}^0\frac{x}{2^x-4}dx-\int\limits_0^2\frac{x}{4-2^x}dx\end{aligned}[/math] Функция в первом слагаемом [math]f(x)=\frac{x}{2^x-4}[/math] определена и монотонно убывает на промежутке [math][-2;0][/math], следовательно она интегрируема на нем (т.е. значение интеграла конечно). Таким образом сходимость исходного интеграла зависит от второго слагаемого. Рассмотрим его подробнее. Пусть [math]f(x)=\frac{x}{4-2^x}[/math], [math]g(x)=\frac{2}{4-2^x}[/math]; обе эти функции на промежутке [math][0;2)[/math] положительны и [math]0\le f(x) \le g(x)[/math]. Рассмотрим предел [math]\lim_{x\to2}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to2}\frac{\frac{x}{4-2^x}}{\frac{2}{4-2^x}}=\lim_{x\to2}\frac{x}{2}=1[/math], следовательно по признаку сравнения в предельной форме интеграл [math]\int\limits_0^2\frac{x}{4-2^x}dx[/math] сходится (расходится), если сходится (расходится) интеграл [math]\int\limits_0^2\frac{2}{4-2^x}dx[/math]. Исследуем интеграл [math]\int\limits_0^2\frac{2}{4-2^x}dx[/math]: [math]\begin{aligned}\int\limits_0^2\frac{2}{4-2^x}dx&=\int\limits_0^2\frac{4-2^x+2^x}{2\left(4-2^x \right )}dx=\int\limits_0^2\left(\frac{1}{2}+\frac{2^x\ln2}{2\left(4-2^x\right)\ln2} \right )dx=1-\frac{1}{2\ln2}\int\limits_0^2\frac{-2^x\ln2}{4-2^x}dx=\\&=1-\frac{1}{\ln4}\lim_{t\to2}\int\limits_0^td\ln(4-2^x)=1-\frac{1}{\ln4}\lim_{t\to2}\left(\ln\left(4-2^t\right)-\ln\left(4-2^0 \right)\right)=\\&=1-\frac{1}{\ln4}\lim_{t\to2}\ln\frac{4-2^t}{3}=1-\frac{1}{\ln4}\cdot\ln\frac{4-4}{3}=1-\frac{\ln0}{\ln4}=1-(-\infty)=\infty\end{aligned}[/math] .Таким образом, интеграл [math]\int\limits_0^2\frac{2}{4-2^x}dx[/math] расходится, следовательно интеграл [math]\int\limits_0^2\frac{x}{4-2^x}dx[/math] также расходится, следовательно исходный интеграл также расходится. |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Minotaur "Спасибо" сказали: Alexdemath, mad_math, valentina |
||
| Avgust |
|
|
|
Да, интеграл расходится:
![]() |
||
| Вернуться к началу | ||
| mad_math |
|
|
|
Ну вот опять! Надо ж решить интеграл, а вы тут развели: "сходится", "расходится"...
|
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю mad_math "Спасибо" сказали: Ellipsoid |
||
| Yurik |
|
|
|
|
||
| Вернуться к началу | ||
| mad_math |
|
|
|
Там в заголовке "Как решить интеграл?". А заголовок - это, собственно, визитка, позволяющая понять некоторые вещи о ТС.
|
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю mad_math "Спасибо" сказали: Ellipsoid |
||
| Minotaur |
|
|
|
mad_math писал(а): Там в заголовке "Как решить интеграл?". А заголовок - это, собственно, визитка, позволяющая понять некоторые вещи о ТС. Полно Вам ворчать! Я и решил... что он расходится. ![]() |
||
| Вернуться к началу | ||
| valentina |
|
|
|
|
||
| Вернуться к началу | ||
| Human |
|
|
|
Minotaur
Проще тогда уж и знаменатель заменить: [math]2^x-4=4\left(2^{x-2}-1\right)\sim4(x-2)\ln2[/math] при [math]x\to2[/math]. Всё-таки о сходимости интеграла [math]\int\limits_0^2\frac{dx}{x-2}[/math] судить проще. Кроме того, в предельном признаке сравнения не обязательно сравнивать функции друг с другом, соответствующее неравенство и так будет выполняться в некоторой окрестности особой точки в силу эквивалентности этих функций. |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали: mad_math, Minotaur |
||
| Minotaur |
|
|
|
Human писал(а): Minotaur Проще тогда уж и знаменатель заменить: [math]2^x-4=4\left(2^{x-2}-1\right)\sim4(x-2)\ln2[/math] при [math]x\to2[/math]. Всё-таки о сходимости интеграла [math]\int\limits_0^2\frac{dx}{x-2}[/math] судить проще. Кроме того, в предельном признаке сравнения не обязательно сравнивать функции друг с другом, соответствующее неравенство и так будет выполняться в некоторой окрестности особой точки в силу эквивалентности этих функций. Спасибо, Human. Но с университета не люблю эквивалентности. ![]() |
||
| Вернуться к началу | ||
|
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 13 ] |
| Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
|---|---|---|---|---|
|
Решить интеграл
в форуме Maple |
1 |
539 |
09 май 2023, 19:20 |
|
|
Решить интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
6 |
355 |
04 дек 2023, 12:26 |
|
|
Решить интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
4 |
373 |
01 мар 2016, 14:53 |
|
|
Интеграл решить
в форуме Интегральное исчисление |
2 |
154 |
02 июн 2020, 17:12 |
|
|
Решить интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
6 |
467 |
05 фев 2018, 12:30 |
|
|
Решить интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
3 |
350 |
26 апр 2015, 17:42 |
|
|
Решить интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
2 |
402 |
27 апр 2018, 22:24 |
|
|
Решить интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
4 |
170 |
08 июн 2020, 18:18 |
|
|
Решить интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
5 |
263 |
29 май 2018, 19:13 |
|
|
Как решить интеграл?
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
195 |
17 ноя 2015, 10:53 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |