Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Критерий интегрируемости(по Риману)
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=23298
Страница 1 из 1

Автор:  Shabuma [ 09 апр 2013, 12:09 ]
Заголовок сообщения:  Критерий интегрируемости(по Риману)

Приводила преподавателю доказательство данного критерия. Он попросил показать на практике как применяется данный критерий, исходя из доказательства. Помогите, пожалуйста. Дана функция у=х^2, на отрезке[0;1]

Автор:  Human [ 10 апр 2013, 17:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: Критерий интегрируемости(по Риману)

Есть несколько критериев интегрируемости по Риману: Дарбу (равенство верхнего и нижнего интегралов Дарбу), Римана (существование разбиения отрезка для сколь угодно малой разности верхней и нижней сумм Дарбу), Дюбуа-Реймона (через покрытие интервалами точек, в которых функция имеет "большое колебание"), Лебега (покрытие конечной суммарной длины множества точек разрыва). Я подозреваю, что имеется в виду критерий Римана, но всё же хотелось бы уточнения, мало ли что.

Автор:  Shabuma [ 10 апр 2013, 21:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Критерий интегрируемости(по Риману)

да,вы правы

Автор:  Human [ 10 апр 2013, 23:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Критерий интегрируемости(по Риману)

Рассмотрим равномерные разбиения отрезка [math][0;1][/math] на [math]n[/math] частей, его мелкость [math]\frac1n[/math]. В силу монотонности [math]x^2[/math] заключаем:

[math]S_n=\sum_{i=1}^n\left(\frac{i}n\right)^2\cdot\frac1n[/math]

[math]s_n=\sum_{i=1}^n\left(\frac{i-1}n\right)^2\cdot\frac1n[/math]

[math]S_n-s_n=\frac1{n^3}\sum_{i=1}^n(2i-1)=\frac1n\to0[/math]

Значит по любому [math]\varepsilon>0[/math] можно рассмотреть равномерное разбиение на [math]n=\left[\frac1{\varepsilon}\right]+1[/math] отрезков, и тогда [math]S_n-s_n<\varepsilon[/math].

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/