| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Лемма дарбу http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=23296 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Shabuma [ 09 апр 2013, 11:30 ] |
| Заголовок сообщения: | Лемма дарбу |
Помогите, пожалуйста, препод просит объяснить чем определение верхнего интеграла дарбу отличается от того, что сказано в основной лемме дарбу. Когда приводила ему определения, он потребовал объяснить чем точная нижняя грань отличается от предела ( наглядно). В чем прогресс дарбу. Я ума не приложу, что ответить |
|
| Автор: | Human [ 11 апр 2013, 00:19 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Лемма дарбу |
Заранее прошу прощения за, возможно, неудобные обозначения, которые я введу дальше. Просто пределы, которые рассматриваются в интегральном исчислении, не так часто встречаются. Если бы все разбиения отрезка были сравнимыми между собой (то есть для любых двух разбиений одно можно вписать в другое), то утверждение леммы было бы очевидным в силу монотонности верхних и нижних сумм Дарбу по разбиениям и их ограниченности (эдакий аналог теоремы Вейерштрасса). Однако поскольку существуют несравнимые разбиения, то не так очевидно, что указанные в лемме пределы вообще существуют. В качестве примера расмотрим функцию [math]f[/math], заданную на двух экземплярах отрезка [math][0,1][/math]: на первом она равна [math]x[/math] при [math]x\in[0,1]_1[/math], а на втором [math]x+1[/math] при [math]x\in[0,1]_2[/math]. Я здесь буду обозначать индексами первый и второй экземпляр отрезка, а также то, из какого именно экземпляра взято то или иное число. Элементы разных экземпляров несравнимы между собой, а на каждом из отрезков функция монотонно возрастает. Здесь отрезки можно считать аналогом множества разбиений некоторого фиксированного отрезка, функцию [math]f[/math] - аналогом, скажем, верхних сумм Дарбу некоторой фиксированной функции на указанном отрезке. Введём также аналог мелкости: пусть [math]\left\| x_1 \right\| =\left\| x_2 \right\| =x[/math]. Например, у чисел [math]1_1[/math] и [math]1_2[/math] мелкость одинакова и равна [math]1[/math]. Тогда предел [math]\lim_{\left\|x\right\|\to0}f[/math] не существует. Действительно, по последовательности [math]\left(\frac1n\right)_1[/math] функция стремится к нулю, а по последовательности [math]\left(\frac1n\right)_2[/math] стремится к единице, при этом мелкости обоих последовательностей действительно стремятся к нулю. При этом у функции в силу её ограниченности естественно существует нижняя грань, равная нулю. Этот пример показывает, что наличие несравнимых элементов в множестве определения некоторой монотонной ограниченной функции вносит серьёзную трудность в обоснование наличия у функции предела по некоторому также монотонному аналогу мелкости. Однако конкретно множество разбиений отрезка обладает свойством, которое отсутствует у приведённого выше примера: для любых двух разбиений существует такое, которое можно вписать в каждое из них. То есть между любыми несравнимыми элементами появляется некоторого сорта связь. Лемма Дарбу по сути показывает, что при наличии такой связи удаётся доказать существование пределов, которые естественно оказываются равны соответствующим верхней и нижней граням. Надеюсь, мой ответ хоть немного, но пояснил суть. |
|
| Автор: | Shabuma [ 14 апр 2013, 21:32 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Лемма дарбу |
Human, спасибо за разъяснение, а можно еще один вопрос? Преподаватель попросил сравнить также точную нижнюю грань НА ЯЗЫКЕ ЭПСИЛОН с пределом на языке ЭПСИЛОН. Насчет предела он подсказал, что нужно взять предел по коши. |
|
| Автор: | Human [ 15 апр 2013, 06:30 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Лемма дарбу |
[math]\lim_{|\tau|\to0}S_{\tau}=A\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0\colon\forall\tau\,(|\tau|<\delta \Rightarrow|S_{\tau}-A|<\varepsilon)[/math] [math]\inf_{\tau}S_{\tau}=A\Leftrightarrow (\forall\tau\ A\leqslant S_{\tau}) \land (\forall\varepsilon>0\ \exists\tau\colon S_{\tau}-A<\varepsilon)[/math] |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|