Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 4 ] |
|
| Автор | Сообщение | |
|---|---|---|
| Shabuma |
|
|
|
|
||
| Вернуться к началу | ||
| Human |
|
|
|
Заранее прошу прощения за, возможно, неудобные обозначения, которые я введу дальше. Просто пределы, которые рассматриваются в интегральном исчислении, не так часто встречаются.
Если бы все разбиения отрезка были сравнимыми между собой (то есть для любых двух разбиений одно можно вписать в другое), то утверждение леммы было бы очевидным в силу монотонности верхних и нижних сумм Дарбу по разбиениям и их ограниченности (эдакий аналог теоремы Вейерштрасса). Однако поскольку существуют несравнимые разбиения, то не так очевидно, что указанные в лемме пределы вообще существуют. В качестве примера расмотрим функцию [math]f[/math], заданную на двух экземплярах отрезка [math][0,1][/math]: на первом она равна [math]x[/math] при [math]x\in[0,1]_1[/math], а на втором [math]x+1[/math] при [math]x\in[0,1]_2[/math]. Я здесь буду обозначать индексами первый и второй экземпляр отрезка, а также то, из какого именно экземпляра взято то или иное число. Элементы разных экземпляров несравнимы между собой, а на каждом из отрезков функция монотонно возрастает. Здесь отрезки можно считать аналогом множества разбиений некоторого фиксированного отрезка, функцию [math]f[/math] - аналогом, скажем, верхних сумм Дарбу некоторой фиксированной функции на указанном отрезке. Введём также аналог мелкости: пусть [math]\left\| x_1 \right\| =\left\| x_2 \right\| =x[/math]. Например, у чисел [math]1_1[/math] и [math]1_2[/math] мелкость одинакова и равна [math]1[/math]. Тогда предел [math]\lim_{\left\|x\right\|\to0}f[/math] не существует. Действительно, по последовательности [math]\left(\frac1n\right)_1[/math] функция стремится к нулю, а по последовательности [math]\left(\frac1n\right)_2[/math] стремится к единице, при этом мелкости обоих последовательностей действительно стремятся к нулю. При этом у функции в силу её ограниченности естественно существует нижняя грань, равная нулю. Этот пример показывает, что наличие несравнимых элементов в множестве определения некоторой монотонной ограниченной функции вносит серьёзную трудность в обоснование наличия у функции предела по некоторому также монотонному аналогу мелкости. Однако конкретно множество разбиений отрезка обладает свойством, которое отсутствует у приведённого выше примера: для любых двух разбиений существует такое, которое можно вписать в каждое из них. То есть между любыми несравнимыми элементами появляется некоторого сорта связь. Лемма Дарбу по сути показывает, что при наличии такой связи удаётся доказать существование пределов, которые естественно оказываются равны соответствующим верхней и нижней граням. Надеюсь, мой ответ хоть немного, но пояснил суть. |
||
| Вернуться к началу | ||
| Shabuma |
|
|
|
Human, спасибо за разъяснение, а можно еще один вопрос? Преподаватель попросил сравнить также точную нижнюю грань НА ЯЗЫКЕ ЭПСИЛОН с пределом на языке ЭПСИЛОН. Насчет предела он подсказал, что нужно взять предел по коши.
|
||
| Вернуться к началу | ||
| Human |
|
|
|
[math]\lim_{|\tau|\to0}S_{\tau}=A\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0\colon\forall\tau\,(|\tau|<\delta \Rightarrow|S_{\tau}-A|<\varepsilon)[/math]
[math]\inf_{\tau}S_{\tau}=A\Leftrightarrow (\forall\tau\ A\leqslant S_{\tau}) \land (\forall\varepsilon>0\ \exists\tau\colon S_{\tau}-A<\varepsilon)[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
|
[ Сообщений: 4 ] |
| Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
|---|---|---|---|---|
| Лемма о накачке | 1 |
244 |
22 окт 2015, 21:39 |
|
|
Задача, Лемма
в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия |
0 |
259 |
19 июн 2015, 01:52 |
|
|
Лемма Гейне-Бореля
в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия |
1 |
460 |
22 окт 2017, 10:00 |
|
| Лемма о линейном разложении | 2 |
317 |
12 янв 2018, 16:17 |
|
| Лемма Рисса о почти перпендикуляре | 0 |
202 |
08 ноя 2022, 00:05 |
|
| Задача по теории о рукопожатиях лемма | 6 |
293 |
19 июн 2022, 06:07 |
|
| Лемма Римана и равенство Парсеваля | 0 |
335 |
26 июн 2019, 17:07 |
|
| Регулярные языки, лемма о нарастании | 0 |
124 |
09 май 2024, 19:31 |
|
| Лемма о решении уравнения специальной функции | 4 |
494 |
25 сен 2023, 20:28 |
|
|
Лемма о линейной независимости системы функций
в форуме Дифференциальное исчисление |
0 |
144 |
04 июн 2019, 16:10 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |