Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Лемма дарбу
СообщениеДобавлено: 09 апр 2013, 11:30 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
09 апр 2013, 11:25
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Помогите, пожалуйста, препод просит объяснить чем определение верхнего интеграла дарбу отличается от того, что сказано в основной лемме дарбу. Когда приводила ему определения, он потребовал объяснить чем точная нижняя грань отличается от предела ( наглядно). В чем прогресс дарбу. Я ума не приложу, что ответить

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Лемма дарбу
СообщениеДобавлено: 11 апр 2013, 00:19 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Заранее прошу прощения за, возможно, неудобные обозначения, которые я введу дальше. Просто пределы, которые рассматриваются в интегральном исчислении, не так часто встречаются.

Если бы все разбиения отрезка были сравнимыми между собой (то есть для любых двух разбиений одно можно вписать в другое), то утверждение леммы было бы очевидным в силу монотонности верхних и нижних сумм Дарбу по разбиениям и их ограниченности (эдакий аналог теоремы Вейерштрасса). Однако поскольку существуют несравнимые разбиения, то не так очевидно, что указанные в лемме пределы вообще существуют.

В качестве примера расмотрим функцию [math]f[/math], заданную на двух экземплярах отрезка [math][0,1][/math]: на первом она равна [math]x[/math] при [math]x\in[0,1]_1[/math], а на втором [math]x+1[/math] при [math]x\in[0,1]_2[/math]. Я здесь буду обозначать индексами первый и второй экземпляр отрезка, а также то, из какого именно экземпляра взято то или иное число. Элементы разных экземпляров несравнимы между собой, а на каждом из отрезков функция монотонно возрастает. Здесь отрезки можно считать аналогом множества разбиений некоторого фиксированного отрезка, функцию [math]f[/math] - аналогом, скажем, верхних сумм Дарбу некоторой фиксированной функции на указанном отрезке. Введём также аналог мелкости: пусть [math]\left\| x_1 \right\| =\left\| x_2 \right\| =x[/math]. Например, у чисел [math]1_1[/math] и [math]1_2[/math] мелкость одинакова и равна [math]1[/math]. Тогда предел [math]\lim_{\left\|x\right\|\to0}f[/math] не существует. Действительно, по последовательности [math]\left(\frac1n\right)_1[/math] функция стремится к нулю, а по последовательности [math]\left(\frac1n\right)_2[/math] стремится к единице, при этом мелкости обоих последовательностей действительно стремятся к нулю. При этом у функции в силу её ограниченности естественно существует нижняя грань, равная нулю.

Этот пример показывает, что наличие несравнимых элементов в множестве определения некоторой монотонной ограниченной функции вносит серьёзную трудность в обоснование наличия у функции предела по некоторому также монотонному аналогу мелкости. Однако конкретно множество разбиений отрезка обладает свойством, которое отсутствует у приведённого выше примера: для любых двух разбиений существует такое, которое можно вписать в каждое из них. То есть между любыми несравнимыми элементами появляется некоторого сорта связь. Лемма Дарбу по сути показывает, что при наличии такой связи удаётся доказать существование пределов, которые естественно оказываются равны соответствующим верхней и нижней граням.

Надеюсь, мой ответ хоть немного, но пояснил суть.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Лемма дарбу
СообщениеДобавлено: 14 апр 2013, 21:32 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
09 апр 2013, 11:25
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human, спасибо за разъяснение, а можно еще один вопрос? Преподаватель попросил сравнить также точную нижнюю грань НА ЯЗЫКЕ ЭПСИЛОН с пределом на языке ЭПСИЛОН. Насчет предела он подсказал, что нужно взять предел по коши.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Лемма дарбу
СообщениеДобавлено: 15 апр 2013, 06:30 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\lim_{|\tau|\to0}S_{\tau}=A\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0\colon\forall\tau\,(|\tau|<\delta \Rightarrow|S_{\tau}-A|<\varepsilon)[/math]

[math]\inf_{\tau}S_{\tau}=A\Leftrightarrow (\forall\tau\ A\leqslant S_{\tau}) \land (\forall\varepsilon>0\ \exists\tau\colon S_{\tau}-A<\varepsilon)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Лемма о накачке

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Stasya7

1

244

22 окт 2015, 21:39

Задача, Лемма

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Andronet

0

259

19 июн 2015, 01:52

Лемма Гейне-Бореля

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Finn_parnichka

1

460

22 окт 2017, 10:00

Лемма о линейном разложении

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Juicer

2

317

12 янв 2018, 16:17

Лемма Рисса о почти перпендикуляре

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

wrobel

0

202

08 ноя 2022, 00:05

Задача по теории о рукопожатиях лемма

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

vladis202000

6

293

19 июн 2022, 06:07

Лемма Римана и равенство Парсеваля

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

liefasm

0

335

26 июн 2019, 17:07

Регулярные языки, лемма о нарастании

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

DuBois

0

124

09 май 2024, 19:31

Лемма о решении уравнения специальной функции

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

VitalikTitan

4

494

25 сен 2023, 20:28

Лемма о линейной независимости системы функций

в форуме Дифференциальное исчисление

resolver

0

144

04 июн 2019, 16:10


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved