| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Объем тела http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=23286 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Wersel [ 08 апр 2013, 21:34 ] |
| Заголовок сообщения: | Объем тела |
Вычислить объем тела, ограниченного параболоидом [math]z=x^2+y^2[/math], цилиндром [math]x^2+y^2=2x[/math] и плоскостью [math]z=0[/math]. Мои мысли: Данное тело ограничено снизу плоскостью [math]z=0[/math], сверху - параболоидом [math]z=x^2+y^2[/math], и по бокам - цилиндром [math]x^2+y^2=2x[/math] Проекция данного тела но плоскость [math]xOy[/math] будет окружность: [math]x^2+y^2=2x[/math] (или [math](x-1)^2+y^2=1[/math]) Тогда [math]V = \int\limits_{0}^{2} dx \int\limits_{-\sqrt{1-(x-1)^2}}^{\sqrt{1-(x-1)^2}} dy \int\limits_{0}^{x^2+y^2} dz[/math] Несколько сомневаюсь в вышенаписанном, если кому не сложно - просмотрите, пожалуйста. |
|
| Автор: | Alexdemath [ 08 апр 2013, 22:06 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Объем тела |
Wersel писал(а): Проекция данного тела но плоскость [math]xOy[/math] будет окружность: [math]x^2+y^2=2x[/math] (или [math](x-1)^2+y^2=1[/math]) Не окружность, а круг [math](x-1)^2+y^2\leqslant1[/math]. |
|
| Автор: | Wersel [ 08 апр 2013, 22:12 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Объем тела |
Alexdemath А, точно, спасибо! Дальше перехожу к цилиндрическим координатам: Окружность: [math]r=2 \cos(\varphi)[/math], при этом [math]\frac{-\pi}{2} \leqslant \varphi \leqslant \frac{\pi}{2}[/math] Параболоид: [math]z=r^2[/math] То есть: [math]V = \int\limits_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} d \varphi \int\limits_{0}^{2 \cos( \varphi)} r dr \int\limits_{0}^{r^2} dz[/math] |
|
| Автор: | Wersel [ 08 апр 2013, 22:14 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Объем тела |
Alexdemath А если проекция круг, то как быть при переходе к полярным (цилиндрическим) координатам? |
|
| Автор: | Alexdemath [ 08 апр 2013, 22:19 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Объем тела |
Wersel писал(а): А если проекция круг, то как быть при переходе к полярным (цилиндрическим) координатам? Я бы так перешёл [math]\begin{cases}x-1=r\cos\varphi,\\ y=r\sin\varphi,\\ z=z\end{cases}|J|=r[/math] Тогда [math]T^{\ast}= \bigl\{0\leqslant \varphi\leqslant 2\pi,~ 0\leqslant r\leqslant 1,~ 0\leqslant z\leqslant (1+r\cos\varphi)^2+r^2\sin^2\varphi\bigr\}[/math]. |
|
| Автор: | Wersel [ 08 апр 2013, 22:26 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Объем тела |
Alexdemath А как будет рациональнее? Еще хотел спросить, а как называется, когда мы переходим не по стандартным формулам, а по таким, как Вы? |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|