Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Объем тела
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=23286
Страница 1 из 1

Автор:  Wersel [ 08 апр 2013, 21:34 ]
Заголовок сообщения:  Объем тела

Вычислить объем тела, ограниченного параболоидом [math]z=x^2+y^2[/math], цилиндром [math]x^2+y^2=2x[/math] и плоскостью [math]z=0[/math].

Мои мысли:
Данное тело ограничено снизу плоскостью [math]z=0[/math], сверху - параболоидом [math]z=x^2+y^2[/math], и по бокам - цилиндром [math]x^2+y^2=2x[/math]

Проекция данного тела но плоскость [math]xOy[/math] будет окружность: [math]x^2+y^2=2x[/math] (или [math](x-1)^2+y^2=1[/math])

Тогда [math]V = \int\limits_{0}^{2} dx \int\limits_{-\sqrt{1-(x-1)^2}}^{\sqrt{1-(x-1)^2}} dy \int\limits_{0}^{x^2+y^2} dz[/math]

Несколько сомневаюсь в вышенаписанном, если кому не сложно - просмотрите, пожалуйста.

Автор:  Alexdemath [ 08 апр 2013, 22:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Объем тела

Wersel писал(а):
Проекция данного тела но плоскость [math]xOy[/math] будет окружность: [math]x^2+y^2=2x[/math] (или [math](x-1)^2+y^2=1[/math])

Не окружность, а круг [math](x-1)^2+y^2\leqslant1[/math].

Автор:  Wersel [ 08 апр 2013, 22:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: Объем тела

Alexdemath
А, точно, спасибо!

Дальше перехожу к цилиндрическим координатам:

Окружность: [math]r=2 \cos(\varphi)[/math], при этом [math]\frac{-\pi}{2} \leqslant \varphi \leqslant \frac{\pi}{2}[/math]

Параболоид: [math]z=r^2[/math]

То есть: [math]V = \int\limits_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} d \varphi \int\limits_{0}^{2 \cos( \varphi)} r dr \int\limits_{0}^{r^2} dz[/math]

Автор:  Wersel [ 08 апр 2013, 22:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Объем тела

Alexdemath
А если проекция круг, то как быть при переходе к полярным (цилиндрическим) координатам?

Автор:  Alexdemath [ 08 апр 2013, 22:19 ]
Заголовок сообщения:  Re: Объем тела

Wersel писал(а):
А если проекция круг, то как быть при переходе к полярным (цилиндрическим) координатам?

Я бы так перешёл

[math]\begin{cases}x-1=r\cos\varphi,\\ y=r\sin\varphi,\\ z=z\end{cases}|J|=r[/math]

Тогда [math]T^{\ast}= \bigl\{0\leqslant \varphi\leqslant 2\pi,~ 0\leqslant r\leqslant 1,~ 0\leqslant z\leqslant (1+r\cos\varphi)^2+r^2\sin^2\varphi\bigr\}[/math].

Автор:  Wersel [ 08 апр 2013, 22:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Объем тела

Alexdemath
А как будет рациональнее?

Еще хотел спросить, а как называется, когда мы переходим не по стандартным формулам, а по таким, как Вы?

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/