Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Неопределённый интеграл
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=23061
Страница 1 из 1

Автор:  Iluha [ 31 мар 2013, 21:39 ]
Заголовок сообщения:  Неопределённый интеграл

Нужна помощь в решении интеграла.
[math]\int \sqrt{1+e^{2x}}dx[/math]

Автор:  Alexdemath [ 31 мар 2013, 22:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределённый интеграл

Iluha

Сделайте замену [math]\sqrt{1+e^{2x}}=t[/math].

Автор:  Avgust [ 31 мар 2013, 22:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределённый интеграл

После такой замены получите:

[math]=\sqrt{1+e^{2x}}+\frac 12 \ln \left |\frac{\sqrt{1+e^{2x}}-1}{\sqrt{1+e^{2x}}+1} \right |+C[/math]

Автор:  Iluha [ 31 мар 2013, 22:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределённый интеграл

[math]t=\sqrt{1+e^{2x}[/math]
[math]t^{2}=1+e^{2x}[/math]
[math]dx= \frac{ tdt }{e^{2x} }[/math]
[math]\int \frac{ t^{2}dx }{ e^{2x}}=\int \frac{ e^{2x}+1}{ e^{2x} }dt =t+\int \frac{ 1 }{ e^{2x} }dt=t+\int \frac{ dx }{ t }=[/math]
[math]=t+\int \frac{ dx }{ \sqrt{1+e^{2x}}}=\sqrt{1+e^{2x}}+\ln({\sqrt{1+e^{2x}}+e^{x}}})+C[/math]
Проверьте, пожалуйста.

Автор:  Alexdemath [ 31 мар 2013, 22:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределённый интеграл

Iluha

Вы в первый раз используйте замену при взятии интегралов??

Решите относительно [math]x[/math] уравнения [math]\sqrt{1+e^{2x}}=t[/math] и продифференцируйте ответ.
Напишите, что получится.

Автор:  Iluha [ 31 мар 2013, 22:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределённый интеграл

Получилось [math]dx= \frac{t}{t ^{2}-1}dt[/math]
Вообще задание было найти длину дуги кривой
[math]y=e^{x} +16[/math]
ln2<=x<=ln5

Автор:  Avgust [ 01 апр 2013, 01:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределённый интеграл

Все верно. Если подставить пределы, то длина дуги

[math]L=\ln \left (\sqrt{\frac{\sqrt{5}+3}{50}} \big (\sqrt{26}-1 \big ) \right )+\sqrt{26}-\sqrt{5}\approx 3.145...[/math]

Построил график, получил длину почти такую же.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/