Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Неопределенный интеграл
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=23048
Страница 3 из 3

Автор:  delmel [ 09 апр 2013, 20:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределенный интеграл

[math]u = {2^{1 - \frac{2}{3}x}} \Rightarrow du = - \frac{{\ln 2}}{3}{2^{2 - \frac{2}{3}x}}dx[/math]
[math]dv = \sin (4x)dx \Rightarrow v = \int {\sin (4x)dx = - \frac{{\cos (4x)}}{4}}[/math]
[math]- {2^{1 - \frac{2}{3}x}}*\frac{{\cos (4x)}}{4} - \int {\frac{{\cos (4x)}}{4}*\frac{{4\ln 2}}{3}} {2^{ - \frac{2}{3}x}}dx[/math]
Это первое применение [math]\int {udv = uv - \int {vdu} }[/math] к [math]{2^{1 - \frac{2}{3}x}}\sin (4x)[/math]

Теперь второе.
[math]\int {\frac{{4\ln 2}}{3}\frac{{\cos (4x)}}{4}} {2^{ - \frac{2}{3}x}} = \frac{{\ln 2}}{3}\int {\cos (4x)*} {2^{ - \frac{2}{3}x}}[/math]
[math]u = \cos (4x) \Rightarrow du = - 4\sin (4x)dx[/math]
[math]dv = \frac{{dx}}{{{2^{\frac{2}{3}x}}}} \Rightarrow v = \int {dv = - \frac{3}{{\ln 2}}*{2^{ - \frac{2}{3}x - 1}}}[/math]
[math]\cos (4x)*( - \frac{3}{{\ln 2}}*{2^{ - \frac{2}{3}x - 1}}) - \int {4\frac{3}{{\ln 2}}*{2^{ - \frac{2}{3}x - 1}}} *\sin (4x)dx[/math]

Автор:  mad_math [ 09 апр 2013, 20:57 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределенный интеграл

За u вы оба раза должны брать одну и ту же функцию. Если в первый раз взяли показательную, то и при втором применении формулы интегрирования по частям за u берёте показательную функцию.

Автор:  delmel [ 09 апр 2013, 21:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределенный интеграл

Ок.
[math]\int {\cos (4x)*{2^{ - \frac{2}{3}x}}dx}[/math]
Это получилось после первого интегрирования. Интегрируем.
[math]u = {2^{ - \frac{2}{3}x}} \Rightarrow du = - \frac{{2\ln 2}}{3}{2^{ - \frac{2}{3}x}}dx[/math]
[math]dv = \cos (4x)dx \Rightarrow v = \frac{{\sin (4x)}}{4}[/math]

получаем
[math]{2^{ - \frac{2}{3}x}}*\frac{{\sin (4x)}}{4} + \int {\frac{{\sin (4x)}}{4}*} \frac{{2\ln 2}}{3}{2^{ - \frac{2}{3}x}}dx[/math]
[math]= {2^{ - \frac{2}{3}x}}*\frac{{\sin (4x)}}{4} + \frac{{\ln 2}}{6}\int {\sin (4x)*} {2^{ - \frac{2}{3}x}}dx[/math]

Автор:  delmel [ 10 апр 2013, 15:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределенный интеграл

И как быть?

Автор:  Yurik [ 10 апр 2013, 16:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределенный интеграл

[math]\begin{gathered} \int {\cos 4x \cdot {2^{ - \frac{2}{3}x}}dx} = \left| \begin{gathered} u = \cos 4x\,\, = > \,\,du = - 4\sin 4x \hfill \\ dv = {2^{ - \frac{2}{3}x}}dx\,\, = > \,\,v = - \frac{3}{{2\ln 2}}{2^{ - \frac{2}{3}x}} \hfill \\ \end{gathered} \right| = - \frac{{3\cos 4x}}{{2\ln 2}}{2^{ - \frac{2}{3}x}} - \frac{6}{{\ln 2}}\int {\sin 4x \cdot {2^{ - \frac{2}{3}x}}dx} = \hfill \\ = \left| \begin{gathered} u = \sin 4x\,\, = > \,\,du = 4\cos 4x \hfill \\ dv = {2^{ - \frac{2}{3}x}}dx\,\, = > \,\,v = - \frac{3}{{2\ln 2}}{2^{ - \frac{2}{3}x}} \hfill \\ \end{gathered} \right| = - \frac{{3\cos 4x}}{{2\ln 2}}{2^{ - \frac{2}{3}x}} - \frac{6}{{\ln 2}}\left( { - \frac{{3\sin 4x}}{{2\ln 2}}{2^{ - \frac{2}{3}x}} + \frac{6}{{\ln 2}}\int {\cos 4x \cdot {2^{ - \frac{2}{3}x}}dx} } \right) \hfill \\ \int {\cos 4x \cdot {2^{ - \frac{2}{3}x}}dx} \cdot \left( {1 + \frac{{36}}{{{{\ln }^2}2}}} \right) = \frac{{3 \cdot {2^{ - \frac{2}{3}x}}}}{{2{{\ln }^2}2}}\left( {6\sin 4x - \ln 2\cos 4x} \right) + C \hfill \\ ... \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Проверьте!

Автор:  delmel [ 10 апр 2013, 17:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределенный интеграл

Всё верно, спасибо большое. Остался последний вопрос.
Чтобы выразить интеграл из вашей последней выкладки, разделил уравнение на [math]\left( {1 + \frac{{36}}{{{{\ln }^2}2}}} \right)[/math]
Константа С в конце на это тоже разделилась.

Теперь, если посмотреть на самый первый пост, там есть ещё 2 интеграла; интегрируем – там тоже С ведь вылазит по правилам интегрирования, но свободная от всяких коэффициентов.
Как записывать ответ? Для каждого из 2х тех интегралов писать +С и для последнего +С*[math]\left( {1 + \frac{{36}}{{{{\ln }^2}2}}} \right)[/math]?
Или же С у нас как-то "общая", и писать для тех двух интегралов +С не нужно?

Автор:  Yurik [ 10 апр 2013, 17:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределенный интеграл

С произвольная константа, поэтому [math]C_1+a \cdot C_2+C_3=C[/math].

Страница 3 из 3 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/