Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Вычислить криволинейный интеграл по отрезку кривой
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=22986
Страница 1 из 2

Автор:  hopka [ 28 мар 2013, 12:44 ]
Заголовок сообщения:  Вычислить криволинейный интеграл по отрезку кривой

Здравствуйте, подскажите как решать задачку:
Вычислить[math]\int\limits_{L} \frac{ dl }{ \sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}} }[/math] по отрезку прямой [math]x-2y=4[/math] от А(0;2) до В (4;0).
Кривую я нарисовал, как определить границы интегрирования и как вообще проинтегрирвоать в этой задаче О_о

Автор:  Analitik [ 28 мар 2013, 13:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить криволинейный интеграл по отрезку кривой

Пределы интегрирования у Вас указаны в задании. [math]dl[/math] - дифференциал дуги. Чему он равен?

Автор:  hopka [ 28 мар 2013, 14:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить криволинейный интеграл по отрезку кривой

Вот задание.. для Dl были формулы для задания функции в параметрическом виде, но тут нет такого задания функции.

Вложения:
IMG_20130311_131844.jpg
IMG_20130311_131844.jpg [ 22.96 Кб | Просмотров: 46 ]

Автор:  hopka [ 28 мар 2013, 14:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить криволинейный интеграл по отрезку кривой

[math]dl=\sqrt{1+f'(x)}dx[/math].. судя по всему так. [math]\left( y= \frac{ x-4 }{ 2 } \right)'= \frac{ 1 }{ 2 }[/math] то есть
[math]dl=\sqrt{ \frac{ 3 }{ 2 } } dx[/math]?? Если так, что делать дальше?

Автор:  mad_math [ 28 мар 2013, 14:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить криволинейный интеграл по отрезку кривой

[math]dl=\sqrt{1+\left(x'(y)\right)^2}dy[/math] или [math]dl=\sqrt{1+\left(y'(x)\right)^2}dx[/math]

Автор:  Analitik [ 28 мар 2013, 14:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить криволинейный интеграл по отрезку кривой

нет, не так. Под корнем должен быть квадрат производной.
А дальше заменяйте [math]dl[/math] и [math]y[/math] на полученные Вами выражения. Так как интегрированире происходит по переменной [math]x[/math], То подставляете в качестве пределов интегрирования абсциссы начальной и конечной точек. Интегрируете.

Автор:  hopka [ 28 мар 2013, 15:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить криволинейный интеграл по отрезку кривой

Либо я что-то не так сделал либо не знаю..[math]\int\limits_{0}^{4} \frac{ \sqrt{5} }{ 2*\sqrt{x^2+ \frac{ {x-4}^{2} }{ 4 } } }dx[/math]

Автор:  Analitik [ 28 мар 2013, 15:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить криволинейный интеграл по отрезку кривой

hopka
А что Вас смущает? Раскрывайте скобки и интегрируйте.

PS: правильная запись - [math]\sqrt{x^2+\left( \dfrac {x-4}{2} \right)^2}[/math]

Автор:  hopka [ 28 мар 2013, 16:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить криволинейный интеграл по отрезку кривой

я буду писать преобразования под корнем:
[math]\sqrt{ \frac{ {4x}^{2}+{(x-4)}^{2} }{ 4 }}=\sqrt{ \frac{ {4x}^{2}+{x}^{2}-8x+16 }{ 4 } }[/math] получаю:
[math]\int\limits_{0}^{4} \frac{ \sqrt{5} }{ 2\sqrt{ \frac{ {5x}^{2}-8x+16 }{ 4 } } }dx[/math] Что делать дальше я не знаю

Автор:  Analitik [ 28 мар 2013, 16:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить криволинейный интеграл по отрезку кривой

hopka
А дальше гуглим "имнтегрирование некоторых иррациональностей" и вспоминаем или учим заново, как находятся интегралы от квадратного корня из квадратного трехчлена в знаменателе.

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/