Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Замена переменной в определенном интеграле
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=22965
Страница 1 из 1

Автор:  oksanakurb [ 27 мар 2013, 15:03 ]
Заголовок сообщения:  Замена переменной в определенном интеграле

[math]\begin{gathered}\int\limits_0^{2\pi}{\frac{{dx}}{{{{\sin}^4}x +{{\cos}^4}x}}}= \int\limits_0^{2\pi}{\frac{{dx}}{{{{\cos}^4}x\left({t{g^4}x + 1}\right)}}}= \int\limits_0^{2\pi}{\frac{{\left({t{g^2}x + 1}\right)dx}}{{{{\cos}^2}x\left({t{g^4}x + 1}\right)}}}= \left| \begin{gathered}tgx = t \hfill \\ \frac{{dx}}{{{{\cos}^2}x}}= dt \hfill \\ \end{gathered}\right| = \hfill \\ = 2\int\limits_0^{+ \infty}{\frac{{\left({{t^2}+ 1}\right)dt}}{{\left({{t^4}+ 1}\right)}}}+ 2\int\limits_{- \infty}^0{\frac{{\left({{t^2}+ 1}\right)dt}}{{\left({{t^4}+ 1}\right)}}}= .....??? \hfill \\ \end{gathered}[/math]
Уже всю голову сломала никак не пойму что делать и как считать интеграл с этими [math]\pm \infty[/math] ... и вообще правильно ли я делаю? Две недели на больничном, мозг иссох а отставать ну никак не хочется

Автор:  Wersel [ 27 мар 2013, 15:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Замена переменной в определенном интеграле

Дальше логично разложить подынтегральные дроби на простейшие, ну и так далее, все стандартно, в общем говоря. Единственное что - я бы сначала взял неопределенный интеграл, дабы не было геморра с пределами.

Автор:  Wersel [ 27 мар 2013, 15:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Замена переменной в определенном интеграле

Кстати, может быть получится как-нибудь покрутить тригонометрию, типа как вышло вот тут.

Автор:  oksanakurb [ 27 мар 2013, 15:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Замена переменной в определенном интеграле

нууу неопределенный интеграл вроде такой [math]\int{\frac{{\left({{t^2}+ 1}\right)dt}}{{\left({{t^4}+ 1}\right)}}}= \frac{1}{{\sqrt 2}}\left({arctg\left({\sqrt 2 x + 1}\right) - arctg\left({1 - \sqrt 2 x}\right)}\right)[/math]

но ка считать в [math]\pm \infty[/math]? :shock:

Автор:  Alexdemath [ 27 мар 2013, 15:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Замена переменной в определенном интеграле

oksanakurb

А что значения арктангенса в этих пределах - это тайна?

Можно ещё сделать такое преобразование

[math]\sin^4x+\cos^4x= \sin^4x+2\sin^2x\cos^2x+\cos^4x-2\sin^2x\cos^2x=[/math]

[math]=1-\frac{1}{2}\sin^22x= \frac{1}{2}(\sin^22x+2\cos^22x)= \left[\left(\frac{\operatorname{tg}x}{\sqrt{2}}\right)^2+1\right]\cos^22x[/math]

Автор:  Wersel [ 27 мар 2013, 15:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: Замена переменной в определенном интеграле

Так же, исходный интеграл можно свести к [math]\int \frac{-4 dt}{\cos(4t)-3}[/math] заменой [math]x=t + \frac{\pi}{4}[/math]

Автор:  Wersel [ 27 мар 2013, 15:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: Замена переменной в определенном интеграле

oksanakurb
[math]\lim\limits_{x \to \pm \infty} arctg(x) = \pm \frac{\pi}{2}[/math]

Автор:  Yurik [ 27 мар 2013, 16:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Замена переменной в определенном интеграле

В Демидовиче есть такой интеграл, может помочь.
[math]\int {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^4} + 1}}dx} = \int {\frac{{{x^2}\left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)}}{{{x^4} + 1}}dx} = \int {\frac{1}{{2 + {{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^2}}}d\left( {x - \frac{1}{x}} \right)} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}arctg\frac{{{x^2} - 1}}{{x\sqrt 2 }} + C[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/