Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Решить определенный интеграл
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=22955
Страница 1 из 1

Автор:  lotos [ 26 мар 2013, 23:44 ]
Заголовок сообщения:  Решить определенный интеграл

Помогите пожалуйста решить определенный интеграл

[math]\int\limits_{0}^{0,4} \frac{\ln(1+0,\!5x)}{x}\,dx[/math]

Автор:  Ellipsoid [ 27 мар 2013, 00:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Разложение функции в ряд фурье с интервалом (а,в)

[math]\frac{1}{x} \cdot \ln{\left( 1 +\frac{x}{2} \right)}=\frac{1}{x} \cdot \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\left( \frac{x}{2} \right)^{n+1}}{n+1}=\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\left( -\frac{1}{2}{\right)^n x^n}}{n+1}; \ |x|<2[/math]

[math]\frac{1}{2}\int_{0}^{0,4} \left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\left( -\frac{1}{2}{\right)^n x^n}}{n+1} \right)dx[/math]

Автор:  Avgust [ 27 мар 2013, 02:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить определенный интеграл

Разложил подинтегральное выражение в ряд, взял интеграл и пришел к красивой сумме:

[math]I=\sum \limits_{k=1}^{\infty}\left [ \frac{(0.5x)^{2k-1}}{(2k-1)^2}-\frac{(0.5x)^{2k}}{4k^2}\right ][/math]

Подставил верхний предел 100 и получил результат [math]0.1908001378[/math]

Интересно: верное ли это значение?

Автор:  Avgust [ 27 мар 2013, 08:38 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить определенный интеграл

Хотя я и сам справлюсь: примерно найду площадь графически:

Изображение

Полный бонжур! Рядам верить можно! Теперь подтвердим Вольфрамом:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... D0..0.4%29

Мапл дал результат 0.19080013777753561904

То же при помощи ряда:

evalf[20](sum((.4*(1/2))^(2*k-1)/(2*k-1)^2-(.4*(1/2))^(2*k)/(4*k^2), k = 1 .. 100));

Ответ: 0.19080013777753561904

Точность зашкаливает.

Автор:  lotos [ 28 мар 2013, 22:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить определенный интеграл

Спасибо всем большое!

Автор:  mad_math [ 28 мар 2013, 22:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить определенный интеграл

http://www.mathhelpplanet.com/viewtopic ... 53#p122653

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/