Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти координаты центра тяжести однородной пластинки D
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=22862
Страница 1 из 1

Автор:  splinx [ 24 мар 2013, 14:46 ]
Заголовок сообщения:  Найти координаты центра тяжести однородной пластинки D

Плиз, решите эту задачу, чтобы было понятно. А то я с таким еще не встречался...

Найти координаты центра тяжести однородной пластинки D

Изображение

Автор:  Alexdemath [ 24 мар 2013, 15:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найди координаты центра тяжести однородной пластинки D

Для начала найдите точки пересечения линий, для чего решите уравнение

[math]-x^2+13x-30=\frac{7}{2}(x-3)[/math]

Автор:  splinx [ 24 мар 2013, 16:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найди координаты центра тяжести однородной пластинки D

Alexdemath писал(а):
Для начала найдите точки пересечения линий, для чего решите уравнение

[math]-x^2+13x-30=\frac{7}{2}(x-3)[/math]


Извините что ещё раз тревожу. Я нашел корни. Это х=3 и х=6,5
А вот как дальше их подставлять в уравнение. Если не трудно запишите просто уравнение, а остальное я сам решу))

Автор:  Alexdemath [ 24 мар 2013, 19:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найди координаты центра тяжести однородной пластинки D

Теперь запишите область [math]D[/math] в виде неравенств

[math]D= \left\{3 \leqslant x \leqslant \frac{13}{2},~ \frac{7}{2}(x-3) \leqslant y \leqslant -x^2+13x-30\right\}[/math]

Далее найдите площадь фигуры, образованную пересечением линий [math]y=\frac{7}{2}(x-3),~y=-x^2+13x-30[/math]. То есть вычислите интеграл

[math]S= \int\limits_{3}^{13\!\not{\phantom{|}}\,\,2}\! \left(-x^2+13x-30-\frac{7}{2}(x-3)\right)\!dx=\ldots= \frac{343}{48}[/math]

искомые координаты центра тяжести

[math]x_c= \frac{1}{S} \iint\limits_{D}x\,dxdy= \frac{1}{\frac{343}{48}} \int\limits_{3}^{13\!\not{\phantom{|}}\,\,2} x\,dx \int\limits_{\tfrac{7}{2}(x-3)}^{-x^2+13x-30}dy= \ldots=\frac{19}{4}[/math]

[math]y_c= \frac{1}{S} \iint\limits_{D}y\,dxdy= \frac{1}{\frac{343}{48}} \int\limits_{3}^{13\!\not{\phantom{|}}\,\,2}dx \int\limits_{\tfrac{7}{2}(x-3)}^{-x^2+13x-30}y\,dy= \ldots=\frac{147}{20}[/math]

Автор:  vvvv [ 24 мар 2013, 20:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найди координаты центра тяжести однородной пластинки D

Вот картинка и ответ.
Пластина состоит из двух частей (распадающихся)
Удобно найти центр тяжести для каждой части, а затем для всей пластины.
А вообще, нужно открыть книгу и почитать хотя бы немного.
Изображение

Автор:  Alexdemath [ 24 мар 2013, 20:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти координаты центра тяжести однородной пластинки D

vvvv

Спасибо, что обратили внимание на вторую часть, а то я проглядел неравенство [math]x>0[/math] :(

Автор:  Alexdemath [ 24 мар 2013, 20:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти координаты центра тяжести однородной пластинки D

splinx, тогда пластина [math]D= D_1\cup D_2[/math], где

[math]D_1= \left\{0 \leqslant x \leqslant 3,~ -x^2+13x-30 \leqslant y \leqslant \frac{7}{2}(x-3)\right\}[/math]

и

[math]D_2= \left\{3 \leqslant x \leqslant \frac{13}{2},~ \frac{7}{2}(x-3) \leqslant y \leqslant -x^2+13x-30\right\}[/math]


Площадь пластины [math]S=S_1+S_2[/math], где

[math]S_1= \int\limits_{0}^{3}\! \left(\frac{7}{2}(x-3)-(-x^2+13x-30)\right)\!dx=\ldots= \frac{99}{4}[/math]

и

[math]S_2= \int\limits_{3}^{13\!\not{\phantom{|}}\,\,2}\! \left(-x^2+13x-30-\frac{7}{2}(x-3)\right)\!dx=\ldots= \frac{343}{48}[/math]


то есть [math]S=\frac{99}{4}+\frac{343}{48}=\frac{1531}{48}[/math].

Статические моменты

[math]m_x= \iint\limits_{D}y\,dxdy= \int\limits_{0}^{3}dx \int\limits_{-x^2+13x-30}^{\tfrac{7}{2}(x-3)}y\,dy+\int\limits_{-3}^{13 \!\not{\phantom{|}}\,\,2}dx \int\limits_{\tfrac{7}{2}(x-3)}^{-x^2+13x-30}y\,dy = \ldots=-\frac{89249}{320}[/math]


[math]m_y= \iint\limits_{D}x\,dxdy= \int\limits_{0}^{3}x\,dx \int\limits_{-x^2+13x-30}^{\tfrac{7}{2}(x-3)}dy+\int\limits_{-3}^{13 \!\not{\phantom{|}}\,\,2}x\,dx \int\limits_{\tfrac{7}{2}(x-3)}^{-x^2+13x-30}dy = \ldots=\frac{10837}{192}[/math]


Искомые координаты центра тяжести

[math]x_c= \frac{m_y}{S}= \ldots=\frac{10837}{6124}[/math]


[math]y_c= \frac{m_x}{S}= \ldots=-\frac{267747}{30620}[/math]


Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/