Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти площадь
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=22833
Страница 1 из 1

Автор:  zorro [ 22 мар 2013, 21:15 ]
Заголовок сообщения:  Найти площадь

Помогите пожалуйста найти площадь фигуры ограниченной кривыми

[math]r=2 \cdot cos \phi[/math]
[math]r=2 \cdot( cos \phi + sin \phi)[/math]

Желательно расписать подробное решение (просто мне такого типа еще много примеров делать, если разберусь с одним, то остальные думаю сам смогу сделать).

Автор:  Avgust [ 22 мар 2013, 22:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти площадь

Задачу легче всего решать в полярных координатах, но для лучшего понимания решу в декартовых. Первое уравнение - это окружность радиусом 1 с центром (1;0). Второе уравнение - окружность радиусом [math]\sqrt{2}[/math] с центром (1;1). См. рис.

Изображение

Нужная площадь - это половина малого круга, то есть [math]S_1=\frac{\pi}{2}[/math]

плюс площадь, выраженная интегралом

[math]S_2=\bigg | \int \limits_0^2 -\sqrt{2-(x-1)^2} +1\, dx\bigg |=\frac{\pi}{2}-1[/math]

Вся площадь: [math]S=S_1+S_2=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}-1=\pi-1[/math]

Автор:  zorro [ 22 мар 2013, 22:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти площадь

Avgust, спасибо большое, все понял. Если вам не сложно не могли бы вы расписать решение в полярных координатах?

Автор:  Avgust [ 23 мар 2013, 10:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти площадь

Я ошибся в малой окружности. Затмение ночное. Нужно так:

Изображение

Площадь выделенной области : [math]S=\frac{\pi}{4}-S_1={\frac {7}{16}}\,\pi -\frac 12 - \frac 18\,\arcsin \left( \frac 35 \right) -\arcsin \left( \frac {\sqrt {2}}{10}\, \right)\approx 0.6521[/math]

В полярных координатах нет желания вычислять. Ну, не люблю я их! :D1

А, впрочем, все просто:

[math]S=\frac{\pi}{4}- \bigg |\frac 12 \int \limits_{-\frac{\pi}{2}} ^{-arctg(0.5)} \cos^2(t)\, dt -\frac 12 \int \limits_{-\frac{\pi}{4}} ^{-arctg(0.5)} 4 \big [\cos(t)+sin(t) \big ]^2 \, dt \bigg |=\frac{5\pi}{8}-\frac 12-\frac 74 \, arctg (0.5) \approx 0.6521[/math]

Автор:  Avgust [ 23 мар 2013, 12:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти площадь

Ой, опять затмение. Верный все же первый рисунок !!! :ROFL:
Для него в полярный координатах - раз плюнуть сделать. Второй вариант [math]\big [[/math]где я ошибочно принял [math]r=cos(t) \, \big ][/math] на порядок сложнее.

Для первого (правильного) варианта:

[math]S_2=\frac 12 \int \limits_{-\frac{\pi}{4}}^0 4 \big [ \cos(t)+\sin(t) \big ]^2 \, dt=\frac{\pi}{2}-1[/math]

Вся площадь [math]S=\pi-1[/math]
----------------------------------------------------
PS. Я же говорил, что полярные координаты проще!

Автор:  zorro [ 23 мар 2013, 14:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти площадь

Насколько я понял вы вычисляли [math]r=2 \ctod(cos\phi + sin\phi)[/math] по формуле:
[math]s= \frac{ 1 }{ 2 }\int\limits_{ \phi1 }^{ \phi2 }r^{2}( \phi )d \phi[/math]
Но мне не очень понятно как вы узнали пределы интегрирования, как вы вычисляли: [math]r=2\ctod cos\phi[/math]
и почему конечный ответ [math]\pi -1[/math]

Автор:  Avgust [ 23 мар 2013, 15:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти площадь

Что значит, как я вычислял [math]r=2 \cos(t)[/math] ? Лично я прекрасно знаю кривые от таких простеньких функций. Вы можете убедиться в верности, подставив вместо [math]r \, \to \, \sqrt{x^2+y^2}[/math] и вместо [math]\cos(t) \, \to \, \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}[/math]. В результате в декартовых координатах построите две ветви окружности.

Пределы интегрирования нахожу анализируя графики. Например [math]\bigg (-\frac{\pi}{4} \bigg )[/math] - это угол наклона касательной большой окружности к оси 0Х в точке (0;0) - см. рис:
Изображение

Конечный ответ я объяснил в своем первом посте. Прощадь S есть сумма половины круга малого диаметра (его площадь [math]\frac{\pi}{2}[/math]) и площади [math]S_2[/math] , найденной интегрированием: [math]S=\frac{\pi}{2}+\bigg (\frac{\pi}{2}-1\bigg )= \pi-1[/math]

Автор:  zorro [ 23 мар 2013, 17:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти площадь

Все, вроде разобрался, спасибо.

Автор:  Avgust [ 23 мар 2013, 17:40 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти площадь

И Вам спасибо за интересную задачу :)

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/