Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 9 ] |
|
| Автор | Сообщение | |
|---|---|---|
| zorro |
|
|
|
[math]r=2 \cdot cos \phi[/math] [math]r=2 \cdot( cos \phi + sin \phi)[/math] Желательно расписать подробное решение (просто мне такого типа еще много примеров делать, если разберусь с одним, то остальные думаю сам смогу сделать). |
||
| Вернуться к началу | ||
| Avgust |
|
|
|
Задачу легче всего решать в полярных координатах, но для лучшего понимания решу в декартовых. Первое уравнение - это окружность радиусом 1 с центром (1;0). Второе уравнение - окружность радиусом [math]\sqrt{2}[/math] с центром (1;1). См. рис.
![]() Нужная площадь - это половина малого круга, то есть [math]S_1=\frac{\pi}{2}[/math] плюс площадь, выраженная интегралом [math]S_2=\bigg | \int \limits_0^2 -\sqrt{2-(x-1)^2} +1\, dx\bigg |=\frac{\pi}{2}-1[/math] Вся площадь: [math]S=S_1+S_2=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}-1=\pi-1[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали: zorro |
||
| zorro |
|
|
|
Avgust, спасибо большое, все понял. Если вам не сложно не могли бы вы расписать решение в полярных координатах?
|
||
| Вернуться к началу | ||
| Avgust |
|
|
|
Я ошибся в малой окружности. Затмение ночное. Нужно так:
![]() Площадь выделенной области : [math]S=\frac{\pi}{4}-S_1={\frac {7}{16}}\,\pi -\frac 12 - \frac 18\,\arcsin \left( \frac 35 \right) -\arcsin \left( \frac {\sqrt {2}}{10}\, \right)\approx 0.6521[/math] В полярных координатах нет желания вычислять. Ну, не люблю я их! ![]() А, впрочем, все просто: [math]S=\frac{\pi}{4}- \bigg |\frac 12 \int \limits_{-\frac{\pi}{2}} ^{-arctg(0.5)} \cos^2(t)\, dt -\frac 12 \int \limits_{-\frac{\pi}{4}} ^{-arctg(0.5)} 4 \big [\cos(t)+sin(t) \big ]^2 \, dt \bigg |=\frac{5\pi}{8}-\frac 12-\frac 74 \, arctg (0.5) \approx 0.6521[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали: zorro |
||
| Avgust |
|
|
|
Ой, опять затмение. Верный все же первый рисунок !!!
Для него в полярный координатах - раз плюнуть сделать. Второй вариант [math]\big [[/math]где я ошибочно принял [math]r=cos(t) \, \big ][/math] на порядок сложнее. Для первого (правильного) варианта: [math]S_2=\frac 12 \int \limits_{-\frac{\pi}{4}}^0 4 \big [ \cos(t)+\sin(t) \big ]^2 \, dt=\frac{\pi}{2}-1[/math] Вся площадь [math]S=\pi-1[/math] ---------------------------------------------------- PS. Я же говорил, что полярные координаты проще! |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали: zorro |
||
| zorro |
|
|
|
Насколько я понял вы вычисляли [math]r=2 \ctod(cos\phi + sin\phi)[/math] по формуле:
[math]s= \frac{ 1 }{ 2 }\int\limits_{ \phi1 }^{ \phi2 }r^{2}( \phi )d \phi[/math] Но мне не очень понятно как вы узнали пределы интегрирования, как вы вычисляли: [math]r=2\ctod cos\phi[/math] и почему конечный ответ [math]\pi -1[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| Avgust |
|
|
|
Что значит, как я вычислял [math]r=2 \cos(t)[/math] ? Лично я прекрасно знаю кривые от таких простеньких функций. Вы можете убедиться в верности, подставив вместо [math]r \, \to \, \sqrt{x^2+y^2}[/math] и вместо [math]\cos(t) \, \to \, \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}[/math]. В результате в декартовых координатах построите две ветви окружности.
Пределы интегрирования нахожу анализируя графики. Например [math]\bigg (-\frac{\pi}{4} \bigg )[/math] - это угол наклона касательной большой окружности к оси 0Х в точке (0;0) - см. рис: Конечный ответ я объяснил в своем первом посте. Прощадь S есть сумма половины круга малого диаметра (его площадь [math]\frac{\pi}{2}[/math]) и площади [math]S_2[/math] , найденной интегрированием: [math]S=\frac{\pi}{2}+\bigg (\frac{\pi}{2}-1\bigg )= \pi-1[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали: zorro |
||
| zorro |
|
|
|
Все, вроде разобрался, спасибо.
|
||
| Вернуться к началу | ||
| Avgust |
|
|
|
И Вам спасибо за интересную задачу
![]() |
||
| Вернуться к началу | ||
|
[ Сообщений: 9 ] |
| Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
|---|---|---|---|---|
|
Найти площадь
в форуме Интегральное исчисление |
0 |
217 |
24 дек 2015, 17:01 |
|
|
Найти площадь
в форуме Интегральное исчисление |
0 |
169 |
24 дек 2015, 17:05 |
|
|
Найти площадь
в форуме Геометрия |
1 |
379 |
07 фев 2015, 17:20 |
|
|
Как найти площадь
в форуме Интегральное исчисление |
4 |
419 |
20 апр 2016, 00:35 |
|
|
Найти площадь
в форуме Интегральное исчисление |
2 |
325 |
04 янв 2017, 22:57 |
|
|
Найти площадь
в форуме Интегральное исчисление |
3 |
261 |
27 сен 2017, 18:49 |
|
|
Найти площадь
в форуме Интегральное исчисление |
9 |
353 |
28 апр 2019, 22:55 |
|
|
Найти площадь фигуры
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
587 |
14 апр 2017, 23:40 |
|
|
Найти площадь поверхности
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
493 |
29 янв 2016, 12:12 |
|
|
Найти площадь поверхности
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
296 |
08 ноя 2017, 19:56 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |