Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Интегралы
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=22758
Страница 1 из 1

Автор:  zorro [ 20 мар 2013, 01:00 ]
Заголовок сообщения:  Интегралы

Помогите пожалуйста

[math]\int \frac{\cos{x}}{{\sin{x}}^3 -{\cos{x}}^3}dx[/math]
в знаменателе раскладываю по разности кубов, потом синус и косинус переписываю через тангенс, а что делать даль не понятно

[math]\int \frac{dx}{\sin x-2\cos x}[/math]
тут также переписываю синус и косинус через тангенс, а дальше не знаю

[math]\int \frac{xdx}{\sqrt{x+1}+\sqrt[3]{x+1}}[/math] заменяю x+1 на t, вроде чем-то похож на интеграл Чебышева...

Автор:  erjoma [ 20 мар 2013, 01:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интегралы

[math]\int {\frac{{\cos x}}{{{{\sin }^3}x - {{\cos }^3}x}}dx} = \int {\frac{1}{{{{\operatorname{tg} }^3}x - 1}}d\left( {\operatorname{tg} x} \right)} = ...[/math]
[math]\int {\frac{x}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt[3]{{x + 1}}}}dx} = \left( \begin{gathered} {t^6} = x + 1 \hfill \\ 6{t^5}dt = dx \hfill \\ \end{gathered} \right) = 6\int {\frac{{{t^6} - 1}}{{t + 1}}{t^3}dt} = 6\int {\left( {{t^8} - {t^7} + {t^6} - {t^5} + {t^4} - {t^3}} \right)dt} = ...[/math]

Автор:  Avgust [ 20 мар 2013, 06:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интегралы

Раз 20 в своей жизни брал интеграл:

[math]\int \frac{dt}{t^3-1}=\frac 16 \left [\ln \bigg | \frac{(t-1)^3}{t^3-1}\bigg | -2\sqrt{3} \, arctg \left ( \frac{2t+1}{\sqrt{3}}\right )\right ]+C[/math]

В результате он стал у меня табличным и красуется на стене за монитором.

Автор:  Avgust [ 20 мар 2013, 08:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интегралы

Точнее, у меня выведен более общий случай. Прошу любить и жаловать табличный интеграл Августа:

[math]\int \frac{dx}{x^3\pm a^3}=\frac {1}{6a^2} \left [\ln \bigg | \frac{(x\pm a)^3}{x^3\pm a^3}\bigg | \pm 2\sqrt{3} \, arctg \left ( \frac{2x\mp a}{a \sqrt{3}}\right )\right ]+C[/math]

Автор:  Ellipsoid [ 20 мар 2013, 09:43 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интегралы

Цитата:
тут также переписываю синус и косинус через тангенс, а дальше не знаю


Получится рациональная дробь, которую нужно разложить на сумму простейших.

Автор:  zorro [ 20 мар 2013, 09:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интегралы

erjoma, Avgust, Ellipsoid спасибо. Avgust не могли бы вы сказать, как вы вывели интеграл 1/(t^3+1)

Автор:  Avgust [ 20 мар 2013, 10:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интегралы

Это несложно. Методом неопределенных коэффициентов нашел:

[math]\frac{1}{t^3+1}=\frac{2}{3 \big (t^2-t+1 \big )}-\frac{t}{3 \big (t^2-t+1 \big )}+\frac {1}{3(t+1)}[/math]

Далее три интеграла свел к табличным.

Автор:  zorro [ 20 мар 2013, 18:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интегралы

Спасибо, разобрался.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/