Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Задачи
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=22678
Страница 1 из 2

Автор:  Denque [ 17 мар 2013, 14:38 ]
Заголовок сообщения:  Задачи

В общем, не буду лукавить, отсутствовал в университете 2 недели по уважительной причине.
Задали кучу задач, нужна помощь, я, читая темы, понял, что вы стараетесь "наставлять на путь истинный".
Я не против этого, даже за.
Если есть возможность и желание, не проходите мимо - помогите, пожалуйста.

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями.
z = 0, z = y^(1/2), y = 2*x, y = 3, x = 0
Нашел формул, даже пытался нарисовать рисунок в 3хмерной системе координат, а дальше что делать - без понятия.

Автор:  Alexdemath [ 17 мар 2013, 14:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачи

Для начала найдите точку пересечения прямых [math]y=2x,~y=3[/math].

Автор:  Denque [ 17 мар 2013, 14:43 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачи

x = 3/2, соответственно y = 3.
Что далее?

Автор:  Alexdemath [ 17 мар 2013, 15:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачи

Теперь запишите область интегрирования

[math]G= \left\{0 \leqslant x \leqslant \frac{3}{2},~ 2x \leqslant y \leqslant 3,~ 0 \leqslant z \leqslant \sqrt{y}\right\}[/math]

И вычислите интеграл по своей формуле

[math]V=\iiint\limits_{G} dxdydz= \int\limits_{0}^{3\!\not{\phantom{|}}\,\,2}dx \int\limits_{2x}^{3}dy \int\limits_{0}^{\sqrt{y}}dz= \int\limits_{0}^{3\!\not{\phantom{|}}\,\,2}dx \int\limits_{2x}^{3}\!\sqrt{y}\,dy= \ldots=\frac{9}{5}\sqrt{3}[/math]

Автор:  Denque [ 17 мар 2013, 15:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачи

Спасибо большое.

Автор:  Alexdemath [ 17 мар 2013, 15:57 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачи

Denque

Запишите формулы с помощью Редактора формул (сразу под формой для набора сообщений).

Автор:  Denque [ 17 мар 2013, 16:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачи

[math]\mathsf{x} ^{2} + \mathsf{y} ^{2} = 2 \mathsf{a} \mathsf{x} , \quad \mathsf{z} = \left( \mathsf{x} ^{2} + \mathsf{y} ^{2} \right) \div \mathsf{a} , \quad \mathsf{z} = 0[/math]

Автор:  Alexdemath [ 17 мар 2013, 16:54 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачи

Первой уравнение запишите в каноническом виде:

[math](x-a)^2+y^2=a^2[/math], теперь видно, что уравнение задаёт окружность радиуса [math]a[/math] и центром в точке [math](a;0)[/math].

Далее перейдём в цилиндрические координаты таким образом [math]\begin{cases}x-a=r\cos \varphi,\\ y=r\sin \varphi,\\ z=z;\end{cases}|J|=r.[/math]

[math]G^{\ast}= \left\{(\varphi,r,z)\in \mathbb{R}^3\colon\, 0 \leqslant \varphi \leqslant 2\pi,~ 0 \leqslant r \leqslant a,~ 0 \leqslant z \leqslant \frac{(r\cos \varphi+a)^2+r^2\sin^2 \varphi}{a}\right\}[/math]

[math]V= \iiint\limits_{G}dxdydz= \iiint\limits_{G^{\ast}}|J|\,d\varphi drdz= \int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi \int\limits_{0}^{a}r\,dr \int\limits_{0}^{\tfrac{(r\cos \varphi+a)^2+r^2\sin^2 \varphi}{a}}dz= \ldots= \frac{3\pi}{2}\,a^3[/math]

Автор:  Denque [ 17 мар 2013, 17:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачи

http://cs403416.vk.me/v403416184/75e3/AUCKDQh1a2s.jpg
А у меня вот так вот получилось, посмотрите, пожалуйста, и перепроверьте.

Автор:  Alexdemath [ 17 мар 2013, 17:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачи

Denque, ответ неверный у Вас получился.

Раскройте скобку в [math](r\cos \varphi+a)^2+r^2\sin^2[/math] и упростите, должны получить [math]r^2+2ar\cos \varphi+a^2[/math]

То есть

[math]\begin{aligned}\int\limits_{0}^{2\pi} & d\varphi \int\limits_{0}^{a}r\,dr \int\limits_{0}^{\tfrac{(r\cos \varphi+a)^2+r^2\sin^2 \varphi}{a}}dz= \frac{1}{a}\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi \int\limits_{0}^{a}(r^2+2ar\cos \varphi+a^2)r\,dr=\\ &= \frac{1}{a}\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi \int\limits_{0}^{a}(r^3+2ar^2\cos \varphi+a^2r)dr=\\ &= \frac{1}{a}\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi \!\left.{\left(\frac{1}{4}r^4+\frac{2a}{3}r^3\cos \varphi+ \frac{a^2}{2}r^2\right)\!}\right|_{r=0}^{r=a}= \ldots= \frac{3\pi}{2}a^3\end{aligned}[/math]

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/