| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Задачи http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=22678 |
Страница 1 из 2 |
| Автор: | Denque [ 17 мар 2013, 14:38 ] |
| Заголовок сообщения: | Задачи |
В общем, не буду лукавить, отсутствовал в университете 2 недели по уважительной причине. Задали кучу задач, нужна помощь, я, читая темы, понял, что вы стараетесь "наставлять на путь истинный". Я не против этого, даже за. Если есть возможность и желание, не проходите мимо - помогите, пожалуйста. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями. z = 0, z = y^(1/2), y = 2*x, y = 3, x = 0 Нашел формул, даже пытался нарисовать рисунок в 3хмерной системе координат, а дальше что делать - без понятия. |
|
| Автор: | Alexdemath [ 17 мар 2013, 14:41 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Задачи |
Для начала найдите точку пересечения прямых [math]y=2x,~y=3[/math]. |
|
| Автор: | Denque [ 17 мар 2013, 14:43 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Задачи |
x = 3/2, соответственно y = 3. Что далее? |
|
| Автор: | Alexdemath [ 17 мар 2013, 15:04 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Задачи |
Теперь запишите область интегрирования [math]G= \left\{0 \leqslant x \leqslant \frac{3}{2},~ 2x \leqslant y \leqslant 3,~ 0 \leqslant z \leqslant \sqrt{y}\right\}[/math] И вычислите интеграл по своей формуле [math]V=\iiint\limits_{G} dxdydz= \int\limits_{0}^{3\!\not{\phantom{|}}\,\,2}dx \int\limits_{2x}^{3}dy \int\limits_{0}^{\sqrt{y}}dz= \int\limits_{0}^{3\!\not{\phantom{|}}\,\,2}dx \int\limits_{2x}^{3}\!\sqrt{y}\,dy= \ldots=\frac{9}{5}\sqrt{3}[/math] |
|
| Автор: | Denque [ 17 мар 2013, 15:53 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Задачи |
Спасибо большое. |
|
| Автор: | Alexdemath [ 17 мар 2013, 15:57 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Задачи |
Denque Запишите формулы с помощью Редактора формул (сразу под формой для набора сообщений). |
|
| Автор: | Denque [ 17 мар 2013, 16:26 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Задачи |
[math]\mathsf{x} ^{2} + \mathsf{y} ^{2} = 2 \mathsf{a} \mathsf{x} , \quad \mathsf{z} = \left( \mathsf{x} ^{2} + \mathsf{y} ^{2} \right) \div \mathsf{a} , \quad \mathsf{z} = 0[/math] |
|
| Автор: | Alexdemath [ 17 мар 2013, 16:54 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Задачи |
Первой уравнение запишите в каноническом виде: [math](x-a)^2+y^2=a^2[/math], теперь видно, что уравнение задаёт окружность радиуса [math]a[/math] и центром в точке [math](a;0)[/math]. Далее перейдём в цилиндрические координаты таким образом [math]\begin{cases}x-a=r\cos \varphi,\\ y=r\sin \varphi,\\ z=z;\end{cases}|J|=r.[/math] [math]G^{\ast}= \left\{(\varphi,r,z)\in \mathbb{R}^3\colon\, 0 \leqslant \varphi \leqslant 2\pi,~ 0 \leqslant r \leqslant a,~ 0 \leqslant z \leqslant \frac{(r\cos \varphi+a)^2+r^2\sin^2 \varphi}{a}\right\}[/math] [math]V= \iiint\limits_{G}dxdydz= \iiint\limits_{G^{\ast}}|J|\,d\varphi drdz= \int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi \int\limits_{0}^{a}r\,dr \int\limits_{0}^{\tfrac{(r\cos \varphi+a)^2+r^2\sin^2 \varphi}{a}}dz= \ldots= \frac{3\pi}{2}\,a^3[/math] |
|
| Автор: | Denque [ 17 мар 2013, 17:33 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Задачи |
http://cs403416.vk.me/v403416184/75e3/AUCKDQh1a2s.jpg А у меня вот так вот получилось, посмотрите, пожалуйста, и перепроверьте. |
|
| Автор: | Alexdemath [ 17 мар 2013, 17:46 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Задачи |
Denque, ответ неверный у Вас получился. Раскройте скобку в [math](r\cos \varphi+a)^2+r^2\sin^2[/math] и упростите, должны получить [math]r^2+2ar\cos \varphi+a^2[/math] То есть [math]\begin{aligned}\int\limits_{0}^{2\pi} & d\varphi \int\limits_{0}^{a}r\,dr \int\limits_{0}^{\tfrac{(r\cos \varphi+a)^2+r^2\sin^2 \varphi}{a}}dz= \frac{1}{a}\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi \int\limits_{0}^{a}(r^2+2ar\cos \varphi+a^2)r\,dr=\\ &= \frac{1}{a}\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi \int\limits_{0}^{a}(r^3+2ar^2\cos \varphi+a^2r)dr=\\ &= \frac{1}{a}\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi \!\left.{\left(\frac{1}{4}r^4+\frac{2a}{3}r^3\cos \varphi+ \frac{a^2}{2}r^2\right)\!}\right|_{r=0}^{r=a}= \ldots= \frac{3\pi}{2}a^3\end{aligned}[/math] |
|
| Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|