Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 4 ] |
|
| Автор | Сообщение | |
|---|---|---|
| Wersel |
|
|
|
[math]\int\limits_{0}^{2} \frac{dx}{\sqrt[3]{1-x}} = \int\limits_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt[3]{1-x}} + \int\limits_{1}^{2} \frac{dx}{\sqrt[3]{1-x}}[/math] Первый интеграл: [math]\int\limits_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt[3]{1-x}} = \lim\limits_{\epsilon \to 1-0} \int\limits_{0}^{\epsilon} \frac{dx}{\sqrt[3]{1-x}} = \lim\limits_{\epsilon \to 1-0} (-\frac{3}{2} \cdot (1-\epsilon)^{\frac{2}{3}} + \frac{3}{2} \cdot (1-0)^{\frac{2}{3}}) = 0 + \frac{3}{2} = \frac{3}{2}[/math] Второй интеграл: [math]\int\limits_{1}^{2} \frac{dx}{\sqrt[3]{1-x}} = \lim\limits_{\epsilon \to 1+0} \int\limits_{\epsilon}^{2} \frac{dx}{\sqrt[3]{1-x}} = \lim\limits_{\epsilon \to 1+0} (-\frac{3}{2} \cdot (1-2)^{\frac{2}{3}} + \frac{3}{2} \cdot (1-\epsilon)^{\frac{2}{3}}) = -\frac{3}{2} \cdot (-1)^{\frac{2}{3}} + +0 = -\frac{3}{2} \cdot (-1)^{\frac{2}{3}}[/math] Область определения [math]f(x) = x^{\frac{2}{3}}$[/math] - луч [math]$[0;+\infty)[/math], то есть второй интеграл расходится, и, соответственно исходный интеграл расходится. Но что-то мне подсказывает, что второй интеграл таки будет сходится и равен [math]-\frac{3}{2}[/math], и исходный будет сходится, и равен [math]\frac{3}{2} - \frac{3}{2} = 0[/math] Помогите дойти до истины, пожалуйста ![]() |
||
| Вернуться к началу | ||
| Human |
|
|
|
Wersel писал(а): Область определения [math]f(x) = x^{\frac{2}{3}}[/math] - луч [math][0;+\infty)[/math], то есть второй интеграл расходится Не путайте арифметический корень с рациональной степенью. Изначально Вам дан именно арифметический корень нечётной степени, а он определён везде. |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали: Wersel |
||
| Wersel |
|
|
|
Human
Изначально - да, но пределы интегрирования мы же подставляем в первообразную. Или Вы имели ввиду, что, если изначально было [math]\frac{1}{\sqrt[3]{1-x}}[/math], то [math](1-x)^{\frac{2}{3}}[/math] можно трактовать как [math]\sqrt[3]{(1-x)^2}[/math] ? Мне тут подсказали красивый вариант: [math]\frac{1}{\sqrt[3]{1-x}} = \frac{-1}{\sqrt[3]{x-1}}[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| Human |
|
|
|
Wersel писал(а): Изначально - да, но пределы интегрирования мы же подставляем в первообразную. Или Вы имели ввиду, что, если изначально было [math]\frac{1}{\sqrt[3]{1-x}}[/math], то [math](1-x)^{\frac{2}{3}}[/math] можно трактовать как [math]\sqrt[3]{(1-x)^2}[/math] Я имел в виду, что функция [math]\frac1{\sqrt[3]{1-x}}[/math] определена при всех значениях [math]x\ne1[/math] и тем более интегрируема в несобственном смысле на отрезке [math][1,2][/math]. Её первообразная на этом отрезке есть [math]-\frac32\sqrt[3]{(1-x)^2}[/math], а не [math]-\frac32(1-x)^{\frac23}[/math]. Wersel писал(а): Мне тут подсказали красивый вариант: [math]\frac{1}{\sqrt[3]{1-x}} = \frac{-1}{\sqrt[3]{x-1}}[/math] Можно и так. |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали: Wersel |
||
|
[ Сообщений: 4 ] |
| Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
|---|---|---|---|---|
|
Несобственный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
2 |
296 |
29 ноя 2017, 19:34 |
|
|
Несобственный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
5 |
305 |
26 окт 2017, 16:20 |
|
|
Несобственный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
0 |
217 |
06 май 2015, 14:54 |
|
|
Несобственный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
7 |
749 |
24 июн 2015, 08:42 |
|
|
Несобственный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
2 |
144 |
16 май 2020, 14:11 |
|
|
Несобственный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
544 |
10 май 2015, 15:07 |
|
|
Несобственный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
248 |
27 дек 2020, 22:56 |
|
|
Несобственный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
133 |
27 дек 2020, 22:43 |
|
|
Несобственный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
0 |
248 |
24 окт 2015, 11:54 |
|
|
Несобственный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
12 |
365 |
27 дек 2020, 22:49 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |