Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Интеграл
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=22439
Страница 1 из 1

Автор:  jagdish [ 06 мар 2013, 05:29 ]
Заголовок сообщения:  Интеграл

[math]\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln (1+\sin x)dx[/math]

Автор:  Prokop [ 06 мар 2013, 12:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл

There is an obvious equality
[math]\int\limits_0^{\pi |2}{f\left({\sin x}\right)dx}= \int\limits_0^{\pi |2}{f\left({\cos x}\right)dx}[/math]
We first show that
[math]J=\int\limits_0^{\pi |2}{x\frac{{\cos x}}{{\sin x}}dx}= \frac{\pi}{2}\ln 2[/math]
Realy
[math]J = - \int\limits_0^{\pi |2}{\ln \left({\sin x}\right)dx}= - \int\limits_0^{\pi |2}{\ln \left({\cos x}\right)dx}[/math]
Then
[math]2J = - \int\limits_0^{\pi |2}{\ln \left({\sin x \cdot \cos x}\right)dx}= - \int\limits_0^{\pi |2}{\ln \left({\frac{1}{2}\sin 2x}\right)dx}= \frac{\pi}{2}\ln 2 - \frac{1}{2}\int\limits_0^\pi{\ln \left({\sin t}\right)dt}= \frac{\pi}{2}\ln 2 - J[/math]
Now consider the given integral
[math]I = \int\limits_0^{\pi |2}{\ln \left({1 + \cos x}\right)dx}= \int\limits_0^{\pi |2}{x\frac{{\sin x}}{{1 + \cos x}}dx}= \int\limits_0^{\pi |2}{x\frac{{1 - \cos x}}{{\sin x}}dx}= \int\limits_0^{\pi |2}{\frac{x}{{\sin x}}dx}- \int\limits_0^{\pi |2}{x\frac{{\cos x}}{{\sin x}}dx}= 2G - \frac{\pi}{2}\ln 2[/math]
and [math]G[/math] is Catalan's constant

Автор:  Avgust [ 06 мар 2013, 13:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл

A numerical method received
http://www.wolframalpha.com/input/?i=ev ... %2F2%29%29
After:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=0. ... efs_*Math-
It is evident that

[math]I=2C-\frac 12 \pi \ln(2)[/math]

This is the progress of Internet and mathematic :)

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/