| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Интеграл http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=22439 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | jagdish [ 06 мар 2013, 05:29 ] |
| Заголовок сообщения: | Интеграл |
[math]\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln (1+\sin x)dx[/math] |
|
| Автор: | Prokop [ 06 мар 2013, 12:48 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интеграл |
There is an obvious equality [math]\int\limits_0^{\pi |2}{f\left({\sin x}\right)dx}= \int\limits_0^{\pi |2}{f\left({\cos x}\right)dx}[/math] We first show that [math]J=\int\limits_0^{\pi |2}{x\frac{{\cos x}}{{\sin x}}dx}= \frac{\pi}{2}\ln 2[/math] Realy [math]J = - \int\limits_0^{\pi |2}{\ln \left({\sin x}\right)dx}= - \int\limits_0^{\pi |2}{\ln \left({\cos x}\right)dx}[/math] Then [math]2J = - \int\limits_0^{\pi |2}{\ln \left({\sin x \cdot \cos x}\right)dx}= - \int\limits_0^{\pi |2}{\ln \left({\frac{1}{2}\sin 2x}\right)dx}= \frac{\pi}{2}\ln 2 - \frac{1}{2}\int\limits_0^\pi{\ln \left({\sin t}\right)dt}= \frac{\pi}{2}\ln 2 - J[/math] Now consider the given integral [math]I = \int\limits_0^{\pi |2}{\ln \left({1 + \cos x}\right)dx}= \int\limits_0^{\pi |2}{x\frac{{\sin x}}{{1 + \cos x}}dx}= \int\limits_0^{\pi |2}{x\frac{{1 - \cos x}}{{\sin x}}dx}= \int\limits_0^{\pi |2}{\frac{x}{{\sin x}}dx}- \int\limits_0^{\pi |2}{x\frac{{\cos x}}{{\sin x}}dx}= 2G - \frac{\pi}{2}\ln 2[/math] and [math]G[/math] is Catalan's constant |
|
| Автор: | Avgust [ 06 мар 2013, 13:59 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интеграл |
A numerical method received http://www.wolframalpha.com/input/?i=ev ... %2F2%29%29 After: http://www.wolframalpha.com/input/?i=0. ... efs_*Math- It is evident that [math]I=2C-\frac 12 \pi \ln(2)[/math] This is the progress of Internet and mathematic
|
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|