Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Интеграл
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=22358
Страница 1 из 1

Автор:  jagdish [ 02 мар 2013, 09:40 ]
Заголовок сообщения:  Интеграл

[math]\displaystyle \int_{0}^{1} x^{30}(1-x)^{70}dx[/math]

Автор:  andrei [ 02 мар 2013, 15:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл

[math]\int\limits_{0}^{1}x^{m}(1-x^{n})^{p}dx= \frac{ \Gamma (p+1) \Gamma \left( \frac{ m+1 }{ n } \right) }{ n \Gamma \left( p+1+ \frac{ m+1 }{ n } \right) } \quad [p+1,m+1,n>0][/math]
табличный интеграл.

Автор:  Avgust [ 02 мар 2013, 19:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл

More simply: if [math]j,k[/math] - integers, then

[math]\displaystyle \int_{0}^{1} x^{j}(1-x)^{k}dx=\frac{j! \cdot k!}{(j+k+1)!}[/math]

[math]\displaystyle \int_{0}^{1} x^{30}(1-x)^{70}dx=\frac{30! \cdot 70!}{(30+70+1)!}[/math]

Автор:  andrei [ 02 мар 2013, 20:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл

Фихтенгольц Г.М.
Изображение

Автор:  jagdish [ 04 мар 2013, 06:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл

Thanks Avgust

would you like to explain me how can i generalise the result

if [math]j,k[/math] - integers, then

[math]\displaystyle \int_{0}^{1} x^{j}(1-x)^{k}dx=\frac{j! \cdot k!}{(j+k+1)!}[/math]

Автор:  Avgust [ 04 мар 2013, 07:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл

From table integral

[math]\int\limits_{0}^{1}x^{m}(1-x^{n})^{p}dx= \frac{ \Gamma (p+1) \Gamma \left( \frac{ m+1 }{ n } \right) }{ n \Gamma \left( p+1+ \frac{ m+1 }{ n } \right) } \quad [p+1,m+1,n>0][/math]

should be

[math]\displaystyle \int_{0}^{1} x^{j}(1-x)^{k}dx=\frac{j! \cdot k!}{(j+k+1)!}[/math]

if [math]j,k[/math] - integers

because [math]n=1\, ; \quad \Gamma (j+1)=j! \, ; \quad \Gamma (k+1)=k! \, ; \quad \Gamma (j+k+2)=(j+k+1)![/math]

Автор:  jagdish [ 08 мар 2013, 13:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл

[math]\displaystyle \int_{0}^{1} x^{j}(1-x)^{k}dx=\frac{j! \cdot k!}{(j+k+1)!}[/math]

if [math]j,k[/math] - integers

How Can I prove without Using Gamma function

Thanks

Автор:  Human [ 08 мар 2013, 16:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл

Integration by parts.

[math]\int\limits_0^1x^j(1-x)^k\,dx=\frac k{j+1}\int\limits_0^1x^{j+1}(1-x)^{k-1}\,dx=\ldots=\frac{k!}{(j+1)\ldots(j+k)}\int\limits_0^1x^{j+k}\,dx=\frac{j!\cdot k!}{(j+k+1)!}[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/