Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Объем тела вращения
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=22172
Страница 1 из 1

Автор:  Empik [ 19 фев 2013, 12:20 ]
Заголовок сообщения:  Объем тела вращения

вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линией [math]x^{ \frac{ 2 }{ 3 } }+y^{ \frac{ 2 }{ 3 } }=a^{ \frac{ 2 }{ 3 } }[/math] вокруг оси Ох

Автор:  Avgust [ 19 фев 2013, 12:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: Объем тела вращения

Думаю, так:

[math]V=\pi \int \limits_0^a \left (a^{\frac 23}-x^{\frac 23} \right )^2 \, dx=\pi \left (a^{\frac 43} x -\frac 65 a^{\frac 23} x^{\frac 53}+\frac 37 x^{\frac 73} \right )\bigg |_0^a=\frac{8\pi}{35}a^{\frac 73}[/math]

Автор:  Avgust [ 19 фев 2013, 18:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Объем тела вращения

Ой, стоп! Я дико извиняюсь. Забыл, что игрек в степени две трети. Тогда под интегралом выражение в скобках надо не в квадрате, а в кубе. Верно так:

[math]V=\pi \int \limits_0^a \left (a^{\frac 23}-x^{\frac 23} \right )^3 \, dx=\pi \left (\frac 97 a^{\frac 23} x^{\frac 73} -\frac 95 a^{\frac 43} x^{\frac 53}+a^2 x - \frac {x^3}{3} \right )\bigg |_0^a=\frac{16\pi}{105}a^3[/math]

И результат более красивый - часть от [math]a[/math] в кубе.

Автор:  mad_math [ 19 фев 2013, 18:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Объем тела вращения

А можно параметризовать кривую:[math]x=a\cos^3{t}, y=a\sin^3{t}[/math]

Автор:  erjoma [ 20 фев 2013, 08:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: Объем тела вращения

Avgust писал(а):
Ой, стоп! Я дико извиняюсь. Забыл, что игрек в степени две трети. Тогда под интегралом выражение в скобках надо не в квадрате, а в кубе. Верно так:

[math]V=\pi \int \limits_0^a \left (a^{\frac 23}-x^{\frac 23} \right )^3 \, dx=\pi \left (\frac 97 a^{\frac 23} x^{\frac 73} -\frac 95 a^{\frac 43} x^{\frac 53}+a^2 x - \frac {x^3}{3} \right )\bigg |_0^a=\frac{16\pi}{105}a^3[/math]

И результат более красивый - часть от [math]a[/math] в кубе.


Результат на два нужно умножить.

Автор:  Avgust [ 20 фев 2013, 09:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Объем тела вращения

Стал проверять на примере: пусть [math]a=8[/math], тогда [math]a^{\frac 23}=4[/math]

Линия [math](4-x^{\frac 23})^{\frac 32}[/math] вогнутая http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl ... %3D0..8%29

Следовательно объем тела вращения должен быть меньше объема конуса (визуально примерно в раза два).

Найдем объем конуса:

[math]V_k=\frac{\pi 8^2 \cdot 8}{3}\approx 536[/math]

Объем нашего тела:

[math]V=\frac{16\pi}{105} 8^3 \approx 245[/math]

То есть все верно!

Автор:  erjoma [ 20 фев 2013, 09:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Объем тела вращения

[math]x \in \left[ { - a,a} \right][/math]
Астроида
Кривая симметрична относительно осей координат.
Вы построили только в первом квадранте.

Автор:  Avgust [ 20 фев 2013, 10:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Объем тела вращения

Да, извиняюсь. Действительно

http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl ... 3D-8..8%29

Просто в первой попытке не так степени проставил.

Ответ, конечно, такой

[math]V=\frac{32 \pi}{105}a^3[/math]

Решение в параметрической форме рассматривалось тут (Пример 6):
static.php?p=obem-tela-vrashcheniya

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/