| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Объем тела вращения http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=22172 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Empik [ 19 фев 2013, 12:20 ] |
| Заголовок сообщения: | Объем тела вращения |
вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линией [math]x^{ \frac{ 2 }{ 3 } }+y^{ \frac{ 2 }{ 3 } }=a^{ \frac{ 2 }{ 3 } }[/math] вокруг оси Ох |
|
| Автор: | Avgust [ 19 фев 2013, 12:48 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Объем тела вращения |
Думаю, так: [math]V=\pi \int \limits_0^a \left (a^{\frac 23}-x^{\frac 23} \right )^2 \, dx=\pi \left (a^{\frac 43} x -\frac 65 a^{\frac 23} x^{\frac 53}+\frac 37 x^{\frac 73} \right )\bigg |_0^a=\frac{8\pi}{35}a^{\frac 73}[/math] |
|
| Автор: | Avgust [ 19 фев 2013, 18:06 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Объем тела вращения |
Ой, стоп! Я дико извиняюсь. Забыл, что игрек в степени две трети. Тогда под интегралом выражение в скобках надо не в квадрате, а в кубе. Верно так: [math]V=\pi \int \limits_0^a \left (a^{\frac 23}-x^{\frac 23} \right )^3 \, dx=\pi \left (\frac 97 a^{\frac 23} x^{\frac 73} -\frac 95 a^{\frac 43} x^{\frac 53}+a^2 x - \frac {x^3}{3} \right )\bigg |_0^a=\frac{16\pi}{105}a^3[/math] И результат более красивый - часть от [math]a[/math] в кубе. |
|
| Автор: | mad_math [ 19 фев 2013, 18:50 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Объем тела вращения |
А можно параметризовать кривую:[math]x=a\cos^3{t}, y=a\sin^3{t}[/math] |
|
| Автор: | erjoma [ 20 фев 2013, 08:28 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Объем тела вращения |
Avgust писал(а): Ой, стоп! Я дико извиняюсь. Забыл, что игрек в степени две трети. Тогда под интегралом выражение в скобках надо не в квадрате, а в кубе. Верно так: [math]V=\pi \int \limits_0^a \left (a^{\frac 23}-x^{\frac 23} \right )^3 \, dx=\pi \left (\frac 97 a^{\frac 23} x^{\frac 73} -\frac 95 a^{\frac 43} x^{\frac 53}+a^2 x - \frac {x^3}{3} \right )\bigg |_0^a=\frac{16\pi}{105}a^3[/math] И результат более красивый - часть от [math]a[/math] в кубе. Результат на два нужно умножить. |
|
| Автор: | Avgust [ 20 фев 2013, 09:01 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Объем тела вращения |
Стал проверять на примере: пусть [math]a=8[/math], тогда [math]a^{\frac 23}=4[/math] Линия [math](4-x^{\frac 23})^{\frac 32}[/math] вогнутая http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl ... %3D0..8%29 Следовательно объем тела вращения должен быть меньше объема конуса (визуально примерно в раза два). Найдем объем конуса: [math]V_k=\frac{\pi 8^2 \cdot 8}{3}\approx 536[/math] Объем нашего тела: [math]V=\frac{16\pi}{105} 8^3 \approx 245[/math] То есть все верно! |
|
| Автор: | erjoma [ 20 фев 2013, 09:23 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Объем тела вращения |
[math]x \in \left[ { - a,a} \right][/math] Астроида Кривая симметрична относительно осей координат. Вы построили только в первом квадранте. |
|
| Автор: | Avgust [ 20 фев 2013, 10:25 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Объем тела вращения |
Да, извиняюсь. Действительно http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl ... 3D-8..8%29 Просто в первой попытке не так степени проставил. Ответ, конечно, такой [math]V=\frac{32 \pi}{105}a^3[/math] Решение в параметрической форме рассматривалось тут (Пример 6): static.php?p=obem-tela-vrashcheniya |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|