Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Площадь кардиоиды
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=22161
Страница 1 из 1

Автор:  Empik [ 18 фев 2013, 15:43 ]
Заголовок сообщения:  Площадь кардиоиды

Помогите найти площадь, ограниченную кривыми: кардиоида r=1-cos [math]\varphi[/math] и
r=1

Автор:  Avgust [ 18 фев 2013, 16:43 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь кардиоиды

[math]S=\frac{\pi \cdot 1^2}{2}+\frac 22 \int \limits_0^{\frac{\pi}{2}}\big [1-\cos(t) \big ]^2 \,dt[/math]

Автор:  Avgust [ 18 фев 2013, 20:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь кардиоиды

Что-то я долго зарешался, в итоге получил

[math]S=\frac 14 (5\pi-8)\approx 1.927[/math]

Если, конечно, верно взял интеграл:

[math]\int \big [ 1-\cos(t)\big ]^2 \, dt = \frac 32 t -2\sin(t)+\frac 14 \sin(2t)+C[/math]

Но прикинул площадь по графику - очень даже похоже.

Автор:  Empik [ 19 фев 2013, 09:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь кардиоиды

а окружность? почему площади складываем? нужно же пересечения найти :o

Автор:  Yurik [ 19 фев 2013, 10:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь кардиоиды

Empik писал(а):
а окружность? почему площади складываем? нужно же пересечения найти

Да, пересечение. Потому и складываем половинку круга (первая и четвёртая четверть) и удвоенный кусочек кардиоиды во второй четверти.
Изображение

Автор:  Avgust [ 19 фев 2013, 11:54 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь кардиоиды

А я думал, что кардиоида такая:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=po ... cos%28t%29

Но тут все равно. Ответ будет точно таким же: S=1.927

Автор:  Yurik [ 19 фев 2013, 11:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь кардиоиды

Avgust писал(а):
А я думал, что кардоида такая:

Это я ошибся, знак перепутал. Но суть-то не меняется.

Изображение

Автор:  Avgust [ 19 фев 2013, 12:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь кардиоиды

Это так, но тогда просто неувязка с формулой, что я привел :)

Автор:  Empik [ 19 фев 2013, 12:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь кардиоиды

спасибо вам преогромное!
не могли бы помочь в решении еще одной задачки, пожалуйста? ;)
viewtopic.php?f=19&t=22172&p=118177#p118177

Автор:  Avgust [ 19 фев 2013, 17:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь кардиоиды

Просьба выполнена, задача очень интересная. Вам только нужно построить график функции в диапазоне от 0 до [math]a[/math]. Этот криволинейный уголочек вращается вокруг оси [math]0x[/math], образуя криволинейный конус.

Ой, стоп! Я дико извиняюсь. Надо не в квадрате, а в кубе. Верно так:

[math]V=\pi \int \limits_0^a \left (a^{\frac 23}-x^{\frac 23} \right )^3 \, dx=\pi \left (\frac 97 a^{\frac 23} x^{\frac 73} -\frac 95 a^{\frac 43} x^{\frac 53}+a^2 x - \frac {x^3}{3} \right )\bigg |_0^a=\frac{16\pi}{105}a^3[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/