| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Площадь кардиоиды http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=22161 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Empik [ 18 фев 2013, 15:43 ] |
| Заголовок сообщения: | Площадь кардиоиды |
Помогите найти площадь, ограниченную кривыми: кардиоида r=1-cos [math]\varphi[/math] и r=1 |
|
| Автор: | Avgust [ 18 фев 2013, 16:43 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Площадь кардиоиды |
[math]S=\frac{\pi \cdot 1^2}{2}+\frac 22 \int \limits_0^{\frac{\pi}{2}}\big [1-\cos(t) \big ]^2 \,dt[/math] |
|
| Автор: | Avgust [ 18 фев 2013, 20:37 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Площадь кардиоиды |
Что-то я долго зарешался, в итоге получил [math]S=\frac 14 (5\pi-8)\approx 1.927[/math] Если, конечно, верно взял интеграл: [math]\int \big [ 1-\cos(t)\big ]^2 \, dt = \frac 32 t -2\sin(t)+\frac 14 \sin(2t)+C[/math] Но прикинул площадь по графику - очень даже похоже. |
|
| Автор: | Empik [ 19 фев 2013, 09:51 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Площадь кардиоиды |
а окружность? почему площади складываем? нужно же пересечения найти
|
|
| Автор: | Yurik [ 19 фев 2013, 10:39 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Площадь кардиоиды |
Empik писал(а): а окружность? почему площади складываем? нужно же пересечения найти Да, пересечение. Потому и складываем половинку круга (первая и четвёртая четверть) и удвоенный кусочек кардиоиды во второй четверти.
|
|
| Автор: | Avgust [ 19 фев 2013, 11:54 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Площадь кардиоиды |
А я думал, что кардиоида такая: http://www.wolframalpha.com/input/?i=po ... cos%28t%29 Но тут все равно. Ответ будет точно таким же: S=1.927 |
|
| Автор: | Yurik [ 19 фев 2013, 11:59 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Площадь кардиоиды |
Avgust писал(а): А я думал, что кардоида такая: Это я ошибся, знак перепутал. Но суть-то не меняется.
|
|
| Автор: | Avgust [ 19 фев 2013, 12:04 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Площадь кардиоиды |
Это так, но тогда просто неувязка с формулой, что я привел
|
|
| Автор: | Empik [ 19 фев 2013, 12:22 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Площадь кардиоиды |
спасибо вам преогромное! не могли бы помочь в решении еще одной задачки, пожалуйста? viewtopic.php?f=19&t=22172&p=118177#p118177 |
|
| Автор: | Avgust [ 19 фев 2013, 17:51 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Площадь кардиоиды |
Просьба выполнена, задача очень интересная. Вам только нужно построить график функции в диапазоне от 0 до [math]a[/math]. Этот криволинейный уголочек вращается вокруг оси [math]0x[/math], образуя криволинейный конус. Ой, стоп! Я дико извиняюсь. Надо не в квадрате, а в кубе. Верно так: [math]V=\pi \int \limits_0^a \left (a^{\frac 23}-x^{\frac 23} \right )^3 \, dx=\pi \left (\frac 97 a^{\frac 23} x^{\frac 73} -\frac 95 a^{\frac 43} x^{\frac 53}+a^2 x - \frac {x^3}{3} \right )\bigg |_0^a=\frac{16\pi}{105}a^3[/math] |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|