Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти тройной интеграл
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=22154
Страница 1 из 1

Автор:  Lomtev [ 18 фев 2013, 07:54 ]
Заголовок сообщения:  Найти тройной интеграл

Помоги плиз решить задачу по Высшей математике
Изображение

Автор:  Yurik [ 18 фев 2013, 10:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти тройной интеграл

[math]\begin{gathered} \iiint\limits_T {3\sqrt {{x^3}z} dxdydz} = 3\iint\limits_{{x^2} + {y^2} \leqslant 1} {dxdy}\int\limits_0^x {\sqrt {{x^3}z} dz} = 3\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {d\varphi } \int\limits_0^1 {rdr} \int\limits_0^{r\cos \varphi } {\sqrt {{r^3}{{\cos }^3}\varphi \,z} dz} = \hfill \\ = 3\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {d\varphi } \int\limits_0^1 {r\sqrt {{r^3}{{\cos }^3}\varphi \,} \left. {\frac{{2{z^{\frac{3}{2}}}}}{3}} \right|_0^{r\cos \varphi }dr} = 2\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {d\varphi } \int\limits_0^1 {{r^4}{{\cos }^3}\varphi dr} = 2\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left. {{r^4}{{\cos }^3}\varphi } \right|_0^1d\varphi } = \hfill \\ = 2\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^3}\varphi d\varphi } = 2\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 - {{\sin }^2}\varphi } \right)d\left( {\sin \varphi } \right)} = 2 \cdot \left. {\left( {\sin \varphi - \frac{{{{\sin }^3}\varphi }}{3}} \right)} \right|_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} = \hfill \\ = 2 \cdot \left( {1 - \frac{1}{3} - \left( { - 1 - \frac{1}{3}} \right)} \right) = 2 \cdot \left( {2 - \frac{2}{3}} \right) = \frac{4}{3} \hfill \\ \end{gathered}[/math]


Если где ошибася, надеюсь, поправят.
Мне, например, непонятно заданное условие [math]-2 \leqslant y \leqslant 2[/math]

Одну ошибку нашёл, исправил. Проверяйте!

Автор:  Yurik [ 18 фев 2013, 12:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти тройной интеграл

Ещё одна в самом конце [math]... = 2 \cdot \left( {2 - \frac{2}{3}} \right) = \frac{8}{3}[/math]

Автор:  Human [ 18 фев 2013, 17:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти тройной интеграл

Yurik писал(а):
[math]2\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {d\varphi } \int\limits_0^1 {{r^4}{{\cos }^3}\varphi dr} = 2\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left. {{r^4}{{\cos }^3}\varphi } \right|_0^1d\varphi } =[/math]


Вот это равенство меня сильно настораживает.

И зачем в задаче задано последнее условие [math]-2\leq y\leq2[/math]?

Автор:  Yurik [ 18 фев 2013, 17:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти тройной интеграл

Human
А чем именно?

Понял, ошибка, буду испрпавлять.

Автор:  Yurik [ 18 фев 2013, 18:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти тройной интеграл

[math]\begin{gathered} ... = 2\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {d\varphi } \int\limits_0^1 {{r^4}{{\cos }^3}\varphi dr} = \frac{2}{5}\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left. {{r^5}{{\cos }^3}\varphi } \right|_0^1d\varphi } = \frac{2}{5}\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^3}\varphi d\varphi } = \frac{2}{5}\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 - {{\sin }^2}\varphi } \right)d\left( {\sin \varphi } \right)} = \hfill \\ = \frac{2}{5}\left. {\left( {\sin \varphi - \frac{{{{\sin }^3}\varphi }}{3}} \right)} \right|_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} = \frac{2}{5}\left( {1 - \frac{1}{3} + 1 - \frac{1}{3}} \right) = \frac{8}{{15}} \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/