| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Вычислить интеграл с ошибкой не больше 10% ответа http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=22060 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | victor1991 [ 12 фев 2013, 10:31 ] |
| Заголовок сообщения: | Вычислить интеграл с ошибкой не больше 10% ответа |
2 казалось бы легких, но интересных интеграла
|
|
| Автор: | Avgust [ 12 фев 2013, 11:17 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: 2 интеграла, легкие не вид |
1) Это сделать просто. Посмотрите на рисунок http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot%28sin^100%28x%29%2Cx%3D0..2*pi%2Cy%3D-1..1%29 Вам достаточно в точках x=1.2; 1.3; 1.4; 1.5; 1.6; 1.7; 1.8; 1.9; 2 вычислить значение синуса в сотой степени, методом трапеций найти площадь и ее удвоить (на рисунке ведь два одинаковых горба). Точность должна получиться выше 10% 2) Я бы построил логарифм функции и затем подумал, как "пропотенцировать" площадь: http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl ... 3D0..10%29 |
|
| Автор: | Analitik [ 12 фев 2013, 13:28 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: 2 казалось бы легких, но интересных интеграла |
victor1991 Попробуйте подынтегральную функцию разложить в ряд Маклорена. PS: Не так уж все просто, как казалось изначально. |
|
| Автор: | Avgust [ 12 фев 2013, 17:40 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить интеграл с ошибкой не больше 10% ответа |
1) Знание графика и логики позволяют найти сногосшибательную точность интеграла. Причем самыми минимальными средствами арифметики. Достаточно найти площадь половины бугорка и затем умножить ее на 4. Половину бугорка я расписал так: [math]x\, \qquad \sin^{100}(x)[/math] [math]-------[/math] [math]1.200 \, \quad 0.00088[/math] [math]1.235 \, \quad 0.00319[/math] [math]1.270 \, \quad 0.01011[/math] [math]1.305 \, \quad 0.02802[/math] [math]1.340 \, \quad 0.06806[/math] [math]1.375 \, \quad 0.14527[/math] [math]1.410 \, \quad 0.27297[/math] [math]1.445 \, \quad 0.45234[/math] [math]1.480 \, \quad 0.66182[/math] [math]1.515 \, \quad 0.85578[/math] [math]1.550 \, \quad 0.97861[/math] [math]\frac{\pi}{2} \, \quad \qquad 1[/math] Согласно этой таблице легко получим методом трапеций [math]S=0.125126 \cdot 4=0.5005[/math] А теперь в окошке Вольфрама набейте int(sin^100(x),x=0..2*pi) и удивляйтесь! |
|
| Автор: | Avgust [ 12 фев 2013, 18:44 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить интеграл с ошибкой не больше 10% ответа |
Точность вычислений оказалась 0,085 % В 117 раз точнее, чем требуется. Как гворится - Маклорен отдыхает. |
|
| Автор: | Avgust [ 12 фев 2013, 21:33 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить интеграл с ошибкой не больше 10% ответа |
2) Тоже применим метод трапеции. Для упрощения пишу в первой строке [math]x[/math], во второй строке [math]x^x \cdot 10^{-8}[/math] : 7; 7.5 ; 8; 8.5; 8.75; 9; 9.2; 9.4; 9.5; 9.6; 9.7; 9.8; 9.9; 10 0.0082; 0.0366; 0.1678; 0.7944; 1.7481; 3.8742; 7.3595; 14.0411; 19.4256; 26.9032; 37.298; 51.7625; 71.9099; 100 Сумма площадей трапеций равна [math]3.1019 \cdot 10^9[/math] Вольфрам дал точное значение [math]3.0575 \cdot 10^9[/math] Невязка 1.45% , что в 6.9 раз точней заданных 10%. Хочу добавить: график+логика+метод Симпсона дали бы результаты на порядок точнее. |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|