| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Вычислить площадь, ограниченную окружностью и параболой http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=21873 |
Страница 1 из 2 |
| Автор: | Wersel [ 01 фев 2013, 21:14 ] |
| Заголовок сообщения: | Вычислить площадь, ограниченную окружностью и параболой |
Окружность: [math]x^2+y^2=16[/math], парабола: [math]x^2=12 \cdot (y-1)[/math]. Рисунок . Как я понимаю, удобнее перейти к полярным координатам: Окружность: [math]r=4[/math], парабола: [math]r = \frac{6}{1-\sin(\varphi)}[/math]. Но интеграл [math]\int\limits_{- \frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} d \varphi \int\limits_{\frac{6}{1-\sin(\varphi)}}^{4} r dr[/math] равен отрицательному значению. Подскажите пожалуйста, что я делаю не так. p.s. Про симметрию знаю. |
|
| Автор: | Avgust [ 01 фев 2013, 21:35 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить площадь, ограниченную окружностью и параболой |
Решал в декартовых координатах [math]S=2\int \limits_{0}^{2\sqrt{3}}\left ( \sqrt{16-x^2}-\frac{x^2}{12}-1 \right ) dx =[/math] [math]= x \sqrt{16-x^2}+16 \arcsin \left ( \frac x4 \right )-\frac{x^3}{18}-2x \bigg |_0^{2\sqrt{3}}=[/math] [math]=\frac{16\pi}{3}-\frac{4}{\sqrt{3}}\approx 14.446[/math] |
|
| Автор: | Wersel [ 01 фев 2013, 21:41 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить площадь, ограниченную окружностью и параболой |
Avgust Мне кажется, Вы прибегали к помощи матпакетов Ибо без них даже точки пересечения найти сложно. Да и интеграл от корня - тригонометрической подстановка - долго.
|
|
| Автор: | Avgust [ 01 фев 2013, 22:00 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить площадь, ограниченную окружностью и параболой |
Нууу! Я такие вещи, как пересечения, легко делаю ручками. Вы разве не решите биквадратное уравнение [math]\frac{x^4}{144}+\frac{7x^2}{6}-15=0[/math] ??? А уж интегралы брать - это моя масленница. Неужели Вы такого интеграла не знаете: [math]\int \sqrt{a^2-x^2}\, dx=\frac x2 \sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}\arcsin \left ( \frac{x}{|a|} \right )+ C[/math] Его должен знать каждый, кто работает с окружностями. Срочно запишите, выучите назубок и сделайте его для себя табличным. |
|
| Автор: | Wersel [ 01 фев 2013, 22:23 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить площадь, ограниченную окружностью и параболой |
Avgust Решу, но для получения этого уравнение надо сделать какие-то преобразования... В общем, я сделал пределы по [math]y[/math] - так будет проще. |
|
| Автор: | Wersel [ 01 фев 2013, 22:23 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить площадь, ограниченную окружностью и параболой |
Avgust писал(а): Неужели Вы такого интеграла не знаете: [math]\int \sqrt{a^2-x^2}\, dx=\frac x2 \sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}\arcsin \left ( \frac{x}{|a|} \right )+ C[/math] Его должен знать каждый, кто работает с окружностями. Я - знаю, но он - не табличный. |
|
| Автор: | Wersel [ 01 фев 2013, 22:26 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить площадь, ограниченную окружностью и параболой |
Или же табличный? Я всегда считал его не табличным. |
|
| Автор: | Avgust [ 01 фев 2013, 22:28 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить площадь, ограниченную окружностью и параболой |
Я приписку сделал - сделайте для себя табличным! Он меня сотни раз выручал. Это, кстати, школа Сканави. Он знал, что приподносить в первую очередь. |
|
| Автор: | Wersel [ 01 фев 2013, 22:31 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить площадь, ограниченную окружностью и параболой |
Avgust Я его знаю, только чем он меня выручит? Когда буду на чистовик писать - все равно придется все расписывать, а проверить результат проще в матпакетах. Кстати, Сканави помню, у него еще есть хороший задачник школьного уровня. В свое время пользовался. |
|
| Автор: | Avgust [ 01 фев 2013, 22:32 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить площадь, ограниченную окружностью и параболой |
Делайте, как умеете. Но и мое решение запишите. Такой вот советик. Матпакеты, кстати, берут этот интеграл через арктангенс. Что менее удобно. |
|
| Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|