Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Вычислить площадь, ограниченную окружностью и параболой
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=21873
Страница 1 из 2

Автор:  Wersel [ 01 фев 2013, 21:14 ]
Заголовок сообщения:  Вычислить площадь, ограниченную окружностью и параболой

Окружность: [math]x^2+y^2=16[/math], парабола: [math]x^2=12 \cdot (y-1)[/math]. Рисунок .

Как я понимаю, удобнее перейти к полярным координатам:
Окружность: [math]r=4[/math], парабола: [math]r = \frac{6}{1-\sin(\varphi)}[/math].

Но интеграл [math]\int\limits_{- \frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} d \varphi \int\limits_{\frac{6}{1-\sin(\varphi)}}^{4} r dr[/math] равен отрицательному значению.

Подскажите пожалуйста, что я делаю не так.

p.s. Про симметрию знаю.

Автор:  Avgust [ 01 фев 2013, 21:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить площадь, ограниченную окружностью и параболой

Решал в декартовых координатах

[math]S=2\int \limits_{0}^{2\sqrt{3}}\left ( \sqrt{16-x^2}-\frac{x^2}{12}-1 \right ) dx =[/math]

[math]= x \sqrt{16-x^2}+16 \arcsin \left ( \frac x4 \right )-\frac{x^3}{18}-2x \bigg |_0^{2\sqrt{3}}=[/math]

[math]=\frac{16\pi}{3}-\frac{4}{\sqrt{3}}\approx 14.446[/math]

Автор:  Wersel [ 01 фев 2013, 21:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить площадь, ограниченную окружностью и параболой

Avgust
Мне кажется, Вы прибегали к помощи матпакетов :) Ибо без них даже точки пересечения найти сложно. Да и интеграл от корня - тригонометрической подстановка - долго.

Автор:  Avgust [ 01 фев 2013, 22:00 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить площадь, ограниченную окружностью и параболой

Нууу! Я такие вещи, как пересечения, легко делаю ручками.
Вы разве не решите биквадратное уравнение

[math]\frac{x^4}{144}+\frac{7x^2}{6}-15=0[/math]

???
А уж интегралы брать - это моя масленница.

Неужели Вы такого интеграла не знаете:

[math]\int \sqrt{a^2-x^2}\, dx=\frac x2 \sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}\arcsin \left ( \frac{x}{|a|} \right )+ C[/math]

Его должен знать каждый, кто работает с окружностями.
Срочно запишите, выучите назубок и сделайте его для себя табличным.

Автор:  Wersel [ 01 фев 2013, 22:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить площадь, ограниченную окружностью и параболой

Avgust
Решу, но для получения этого уравнение надо сделать какие-то преобразования...

В общем, я сделал пределы по [math]y[/math] - так будет проще.

Автор:  Wersel [ 01 фев 2013, 22:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить площадь, ограниченную окружностью и параболой

Avgust писал(а):
Неужели Вы такого интеграла не знаете:

[math]\int \sqrt{a^2-x^2}\, dx=\frac x2 \sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}\arcsin \left ( \frac{x}{|a|} \right )+ C[/math]

Его должен знать каждый, кто работает с окружностями.


Я - знаю, но он - не табличный.

Автор:  Wersel [ 01 фев 2013, 22:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить площадь, ограниченную окружностью и параболой

Или же табличный?

Я всегда считал его не табличным.

Так же интеграл от секанса всегда вывожу сам...

Автор:  Avgust [ 01 фев 2013, 22:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить площадь, ограниченную окружностью и параболой

Я приписку сделал - сделайте для себя табличным! Он меня сотни раз выручал.
Это, кстати, школа Сканави. Он знал, что приподносить в первую очередь.

Автор:  Wersel [ 01 фев 2013, 22:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить площадь, ограниченную окружностью и параболой

Avgust
Я его знаю, только чем он меня выручит? Когда буду на чистовик писать - все равно придется все расписывать, а проверить результат проще в матпакетах.

Кстати, Сканави помню, у него еще есть хороший задачник школьного уровня. В свое время пользовался.

Автор:  Avgust [ 01 фев 2013, 22:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить площадь, ограниченную окружностью и параболой

Делайте, как умеете. Но и мое решение запишите. Такой вот советик.
Матпакеты, кстати, берут этот интеграл через арктангенс. Что менее удобно.

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/