Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Криволинейный интеграл по замкнутому контуру
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=21598
Страница 1 из 1

Автор:  Wersel [ 21 янв 2013, 02:05 ]
Заголовок сообщения:  Криволинейный интеграл по замкнутому контуру

Вычислить криволинейный интеграл по замкнутому контуру в положительном направлении, используя формулу Грина.

[math]\int\limits_{l}^{} xy^2 dy + x^2ydx[/math]

[math]l[/math]:[math]x^2+y^2=9[/math]

Мое решение:

[math]\frac{\partial Q}{\partial x} = y^2[/math]

[math]\frac{\partial P}{\partial y} = x^2[/math]

Тогда:

[math]\int\limits_{l}^{} xy^2 dy + x^2ydx = \int\int\limits_{D} (y^2-x^2) dx dy[/math]

Перехожу в полярную СК, получаю:

[math]\int\int\limits_{D} (y^2-x^2) dx dy = \int\limits_{0}^{2 \pi} (- \cos(2 \varphi)) d \varphi \int\limits_{0}^{3} (r^3) dr = ... = 0[/math]

Верно ли? Ноль в ответе несколько смущает.
Спасибо.

Автор:  Wersel [ 21 янв 2013, 02:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Криволинейный интеграл по замкнутому контуру

И вопрос сюда же: [math]\int\limits_{0}^{2 \pi} \cos(2 \varphi) d \varphi = \frac{1}{2} \int\limits_{0}^{2 \pi} \cos(2 \varphi) d( 2 \varphi )[/math] - справедлив ли такой переход? вроде как да, но с другой стороны: переменные заменяем, а пределы не меняем...

Или все таки верхний предел второго интеграла должен быть [math]4 \pi[/math] ?

Автор:  Human [ 21 янв 2013, 08:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Криволинейный интеграл по замкнутому контуру

Wersel писал(а):
Верно ли?


Да вроде.

Wersel писал(а):
И вопрос сюда же: [math]\int\limits_{0}^{2 \pi} \cos(2 \varphi) d \varphi = \frac{1}{2} \int\limits_{0}^{2 \pi} \cos(2 \varphi) d( 2 \varphi )[/math] - справедлив ли такой переход? вроде как да, но с другой стороны: переменные заменяем, а пределы не меняем...


Я лично так никогда не пишу, чтобы не путаться. Если надо сделать замену переменных - я её делаю, а не подвожу под дифференциал.

Автор:  Wersel [ 22 янв 2013, 01:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Криволинейный интеграл по замкнутому контуру

Human
Понял, спасибо.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/