Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Интеграл
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=21509
Страница 1 из 1

Автор:  jagdish [ 16 янв 2013, 23:05 ]
Заголовок сообщения:  Интеграл

[math]\int\frac{1+x\cos \alpha}{\left(x^2-2x\cos \alpha+1\right)^{\frac{3}{2}}}dx[/math]

Автор:  Human [ 17 янв 2013, 00:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл

[math]x=z\sin\alpha+\cos\alpha[/math]

[math]\int\frac{dz}{(1+z^2)^{\frac32}}=\frac z{\sqrt{1+z^2}}[/math]

[math]\int\frac{z\,dz}{(1+z^2)^{\frac32}}=-\frac1{\sqrt{1+z^2}}[/math]

Автор:  jagdish [ 17 янв 2013, 07:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл

Thanks Human Got it

[math]\int\frac{1+x\cos \alpha}{\left(x^2-2x.\cos \alpha+1\right)^{\frac{3}{2}}}dx}[/math]

[math]\int\frac{1+x.\cos \alpha}{\left\{x^2-2x.\cos a\lpha+\cos^2 \alpha +\sin^2 \alpha\right\}^{\frac{3}{2}}}dx[/math]

[math]\int\frac{1+x.\cos\alpha}{\left\{\left(x-\cos a\lpha\right)^2+\sin^2 \alpha\right\}^{\frac{3}{2}}}dx[/math]

Now Sub. [math]x-\cos \alpha = t.\sin \alpha \Leftrightarrow dx=\sin \alpha dt[/math]

[math]\int\frac{\left\{1+\left(t\sin \alpha+\cos \alpha\right).\cos \alpha\right\}.\sin \alpha}{\sin^3 \alpha \left(1+t^2\right)^{\frac{3}{2}}}dt[/math]

[math]\frac{1}{\sin^2\alpha}\int\frac{1+\cos^2 \alpha +t\sin \alpha.\cos \alpha}{\left(1+t^2\right)^{\frac{3}{2}}}dt[/math]

[math]\frac{1+\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}\int \frac{1}{\left(1+t^2\right)^{\frac{3}{2}}}+\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}.\int \frac{t}{\left(1+t^2\right)^{\frac{3}{2}}}dt[/math]

[math]\frac{1+\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}.\mathbb{I}+\cot \alpha.\mathbb{J}[/math]

Where [math]\mathbb{I}=\int\frac{1}{(1+t^2)^{\frac{3}{2}}}dt[/math] and [math]\mathbb{J}=\int\frac{t}{(1+t^2)^{\frac{3}{2}}}dt[/math]

Now First We will Calculate......

[math]\int\frac{1}{(1+t^2)^{\frac{3}{2}}}dt[/math]

Put [math]t=\tan \theta \Leftrightarrow dt = \sec^2 \theta[/math]

[math]\int cos \theta = \sin \theta +\mathbb{C}[/math]

So [math]\mathbb{I}=\int\frac{1}{(1+t^2)^{\frac{3}{2}}}dt=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}+\mathbb{C}[/math]

Similarly for .......

[math]\int\frac{t}{(1+t^2)^{\frac{3}{2}}}dt[/math]

Put [math]1+t^2 = u^2 \Leftrightarrow tdt=udu[/math]

[math]\int \frac{1}{u^2}du = -\frac{1}{u}+\mathbb{C}[/math]

So [math]\mathbb{J}=-\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}+\mathbb{C}[/math]

So our Integral is........

[math]\frac{1+\cos^2 \alpha}{\sin ^2 \alpha}.\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}-\cot \alpha .\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}+\mathbb{C}[/math]

Put [math]t=\frac{x-\cos \alpha}{\sin \alpha}[/math]

[math]= \frac{1+\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}.\left(\frac{x-\cos \alpha}{\sqrt{x^2-2x.\cos \alpha +1}}\right)-\cot \alpha.\left(\frac{\sin \alpha}{\sqrt{x^2-2x.\cos \alpha +1}}\right)+\mathbb{C}[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/