Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=21479
Страница 1 из 1

Автор:  twist [ 16 янв 2013, 13:41 ]
Заголовок сообщения:  Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

z=1-x^2-4y^2
z=0

Автор:  Alexdemath [ 17 янв 2013, 11:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

Область интегрирования:

[math]T=\bigl\{x^2+y^2\leqslant 1,~ 0\leqslant z\leqslant 1-x^2-y^2\bigr\}[/math]

Искомый объём тела:

[math]\begin{aligned}V&=\iiint\limits_{T}dxdydz= \iint\limits_{x^2+y^2\leqslant 1}dxdy \int\limits_{0}^{1-x^2-y^2}dz= \iint\limits_{x^2+y^2\leqslant 1}(1-x^2-y^2)dxdy=\left\{\begin{aligned}x&=r\cos\varphi,\\ y&=r\sin\varphi\end{aligned}\right\}=\\ &= \int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi \int\limits_{0}^{1}(1-r^2)r\,dr= 2\pi\cdot\! \left.{\left(\frac{r^2}{2}-\frac{r^4}{4}\right)}\right|_{0}^{1}= 2\pi\cdot\!\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)= 2\pi\cdot \frac{1}{4}=\frac{\pi}{2} \end{aligned}[/math]

Автор:  Yurik [ 17 янв 2013, 11:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

Alexdemath
Не всё так просто, там эллиптический параболоид, а не круговой.

Автор:  Alexdemath [ 17 янв 2013, 12:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

Yurik, спасибо. Не заметил 4 :oops:

Тогда всё тоже самое, только обобщённые полярные координаты

Область интегрирования:

[math]T=\bigl\{x^2+4y^2\leqslant 1,~ 0\leqslant z\leqslant 1-x^2-4y^2\bigr\}[/math]

Искомый объём тела:

[math]\begin{aligned}V&=\iiint\limits_{T}dxdydz= \iint\limits_{x^2+4y^2\leqslant 1}dxdy \int\limits_{0}^{1-x^2-4y^2}dz= \iint\limits_{x^2+4y^2\leqslant 1}(1-x^2-4y^2)dxdy=\left\{\begin{aligned}x&=r\cos\varphi,\\ y&=\frac{r}{2}\sin\varphi\end{aligned}\right\}=\\ &= \int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi \int\limits_{0}^{1}(1-r^2)\frac{r}{2}\,dr= 2\pi\cdot\! \frac{1}{2}\!\left.{\left(\frac{r^2}{2}-\frac{r^4}{4}\right)}\right|_{0}^{1}= \pi\cdot\!\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)=\frac{\pi}{4} \end{aligned}[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/