| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=21479 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | twist [ 16 янв 2013, 13:41 ] |
| Заголовок сообщения: | Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями |
z=1-x^2-4y^2 z=0 |
|
| Автор: | Alexdemath [ 17 янв 2013, 11:10 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями |
Область интегрирования: [math]T=\bigl\{x^2+y^2\leqslant 1,~ 0\leqslant z\leqslant 1-x^2-y^2\bigr\}[/math] Искомый объём тела: [math]\begin{aligned}V&=\iiint\limits_{T}dxdydz= \iint\limits_{x^2+y^2\leqslant 1}dxdy \int\limits_{0}^{1-x^2-y^2}dz= \iint\limits_{x^2+y^2\leqslant 1}(1-x^2-y^2)dxdy=\left\{\begin{aligned}x&=r\cos\varphi,\\ y&=r\sin\varphi\end{aligned}\right\}=\\ &= \int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi \int\limits_{0}^{1}(1-r^2)r\,dr= 2\pi\cdot\! \left.{\left(\frac{r^2}{2}-\frac{r^4}{4}\right)}\right|_{0}^{1}= 2\pi\cdot\!\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)= 2\pi\cdot \frac{1}{4}=\frac{\pi}{2} \end{aligned}[/math] |
|
| Автор: | Yurik [ 17 янв 2013, 11:35 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями |
Alexdemath Не всё так просто, там эллиптический параболоид, а не круговой. |
|
| Автор: | Alexdemath [ 17 янв 2013, 12:07 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями |
Yurik, спасибо. Не заметил 4 Тогда всё тоже самое, только обобщённые полярные координаты Область интегрирования: [math]T=\bigl\{x^2+4y^2\leqslant 1,~ 0\leqslant z\leqslant 1-x^2-4y^2\bigr\}[/math] Искомый объём тела: [math]\begin{aligned}V&=\iiint\limits_{T}dxdydz= \iint\limits_{x^2+4y^2\leqslant 1}dxdy \int\limits_{0}^{1-x^2-4y^2}dz= \iint\limits_{x^2+4y^2\leqslant 1}(1-x^2-4y^2)dxdy=\left\{\begin{aligned}x&=r\cos\varphi,\\ y&=\frac{r}{2}\sin\varphi\end{aligned}\right\}=\\ &= \int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi \int\limits_{0}^{1}(1-r^2)\frac{r}{2}\,dr= 2\pi\cdot\! \frac{1}{2}\!\left.{\left(\frac{r^2}{2}-\frac{r^4}{4}\right)}\right|_{0}^{1}= \pi\cdot\!\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)=\frac{\pi}{4} \end{aligned}[/math] |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|