Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 4 ] |
|
| Автор | Сообщение | |
|---|---|---|
| twist |
|
|
|
z=0 |
||
| Вернуться к началу | ||
| Alexdemath |
|
|
|
Область интегрирования:
[math]T=\bigl\{x^2+y^2\leqslant 1,~ 0\leqslant z\leqslant 1-x^2-y^2\bigr\}[/math] Искомый объём тела: [math]\begin{aligned}V&=\iiint\limits_{T}dxdydz= \iint\limits_{x^2+y^2\leqslant 1}dxdy \int\limits_{0}^{1-x^2-y^2}dz= \iint\limits_{x^2+y^2\leqslant 1}(1-x^2-y^2)dxdy=\left\{\begin{aligned}x&=r\cos\varphi,\\ y&=r\sin\varphi\end{aligned}\right\}=\\ &= \int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi \int\limits_{0}^{1}(1-r^2)r\,dr= 2\pi\cdot\! \left.{\left(\frac{r^2}{2}-\frac{r^4}{4}\right)}\right|_{0}^{1}= 2\pi\cdot\!\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)= 2\pi\cdot \frac{1}{4}=\frac{\pi}{2} \end{aligned}[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали: silver123 |
||
| Yurik |
|
|
|
Alexdemath
Не всё так просто, там эллиптический параболоид, а не круговой. |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Yurik "Спасибо" сказали: silver123 |
||
| Alexdemath |
|
|
|
Yurik, спасибо. Не заметил 4
Тогда всё тоже самое, только обобщённые полярные координаты Область интегрирования: [math]T=\bigl\{x^2+4y^2\leqslant 1,~ 0\leqslant z\leqslant 1-x^2-4y^2\bigr\}[/math] Искомый объём тела: [math]\begin{aligned}V&=\iiint\limits_{T}dxdydz= \iint\limits_{x^2+4y^2\leqslant 1}dxdy \int\limits_{0}^{1-x^2-4y^2}dz= \iint\limits_{x^2+4y^2\leqslant 1}(1-x^2-4y^2)dxdy=\left\{\begin{aligned}x&=r\cos\varphi,\\ y&=\frac{r}{2}\sin\varphi\end{aligned}\right\}=\\ &= \int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi \int\limits_{0}^{1}(1-r^2)\frac{r}{2}\,dr= 2\pi\cdot\! \frac{1}{2}\!\left.{\left(\frac{r^2}{2}-\frac{r^4}{4}\right)}\right|_{0}^{1}= \pi\cdot\!\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)=\frac{\pi}{4} \end{aligned}[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали: silver123, Yurik |
||
|
[ Сообщений: 4 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |