Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Вычислить поверхностный интеграл
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=21255
Страница 1 из 1

Автор:  Shamil [ 07 янв 2013, 21:59 ]
Заголовок сообщения:  Вычислить поверхностный интеграл

Вычислить поверхностный интеграл [math]\iint\limits_{S}xyzdS[/math] где S-часть плоскости x+y+z=1, лежащая в первом октанте.

Автор:  Alexdemath [ 09 янв 2013, 00:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить поверхностный интеграл

Воспользуйтесь стандартной формулой для вычисления поверхностного интеграла 1-го рода

[math]z=1-x-y[/math]

[math]z'_x=-1\Rightarrow z'_x^2=1;\qquad z'_y=-1\Rightarrow z'_y^2=1[/math]

[math]dS=\sqrt{1+z'_x^2+z'_y^2}\,dxdy=\sqrt{3}\,dxdy[/math]

[math]D_{xy}= \bigl\{0\leqslant x\leqslant 1,~ 0\leqslant y\leqslant 1-x\bigr\}[/math]

[math]\iint\limits_{S}xyz\,dS= \iint\limits_{D_{xy}}xy(1-x-y)\sqrt{3}\,dxdy= \sqrt{3}\int\limits_{0}^{1}x\,dx \int\limits_{1}^{1-x}\bigl[(1-x)y-y^2\bigr]dy= \ldots=\frac{\sqrt{3}}{120}[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/