| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Масса распределенная по поверхности с плотностью http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=21171 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Nightwish7 [ 05 янв 2013, 13:18 ] |
| Заголовок сообщения: | Масса распределенная по поверхности с плотностью |
Поверхность конус запечатанный в цилиндр: [math]$$\sqrt {{x^2} + {y^2}} = z,{x^2} + {y^2} = 2x$$[/math] Плотность: [math]$$p(x,y,z) = xy + yz + xz$$[/math] Параметризация: [math]$$x = \cos \varphi \cos \psi $$[/math] [math]$$y = \sin \varphi \cos \psi $$[/math] [math]$$z = \sin \psi $$[/math] [math]$$ - \frac{\pi}{2}\leqslant \varphi \leqslant \frac{\pi}{2},\frac{\pi}{4}\leqslant \psi \leqslant \frac{\pi}{2}$$[/math] Коэффициенты: [math]$$E ={\cos ^2}\psi $$[/math] [math]$$G ={\sin ^2}\psi $$[/math] Двойной интеграл: [math]$$\iint\limits_\Delta{(\cos \varphi{{\cos}^2}\psi \sin \varphi +}\sin \varphi \cos \psi \sin \psi + \sin \varphi \cos \psi \sin \psi )\cos \psi \sin \psi d\varphi d\psi = $$[/math] [math]$$ = \int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}{d\psi}\int\limits_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{(\sin \psi \cos \varphi{{\cos}^3}\psi \sin \varphi}+ \sin \varphi{\cos ^2}\psi{\sin ^2}\psi + \cos \varphi )d\varphi = $$[/math] Первое и второе слагаемое уходят в 0 [math]$$ = 2\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}{{{\cos}^2}\psi{{\sin}^2}\psi d\psi}= \frac{1}{2}\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}{{{\sin}^2}2\psi d\psi}= \frac{1}{4}\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}{d\psi}- \frac{1}{4}\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}{\cos 4\psi d\psi}= \frac{\pi}{{16}}$$[/math] Вроде бы ответ красивый. Но я сильно сомневаюсь, что я правильно составил двойной интеграл |
|
| Автор: | erjoma [ 05 янв 2013, 15:41 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Масса распределенная по поверхности с плотностью |
[math]\begin{gathered} D = \left\{ {\left( {x,y} \right) \,\colon{{(x - 1)}^2} + {y^2} \leqslant 1} \right\} \hfill \\ M = \iint\limits_S {p\left( {x,y,z} \right)dS} = \iint\limits_D {p\left( {x,y,\sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right)\sqrt {1 + \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{x^2} + {y^2}}}} dxdy} = \sqrt 2 \iint\limits_D {p\left( {x,y,\sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right)\sqrt {{x^2} + {y^2}} dxdy} \hfill \\ \end{gathered}[/math] Перейдем к полярным координатам [math]x = r\cos \varphi ,y = r\sin \varphi[/math] [math]M = \sqrt 2 \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {d\varphi } \int\limits_0^{2\cos \varphi } {\left( {{r^2}\cos \varphi \sin \varphi + {r^2}\cos \varphi + {r^2}\sin \varphi } \right){r^2}dr} = ... = \frac{{64\sqrt 2 }}{5}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^6}\varphi d\varphi } = ... = 2\sqrt 2 \pi[/math] |
|
| Автор: | Nightwish7 [ 05 янв 2013, 17:08 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Масса распределенная по поверхности с плотностью |
Почему якобиан r^2, а не r? |
|
| Автор: | Alexdemath [ 06 янв 2013, 11:19 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Масса распределенная по поверхности с плотностью |
Nightwish7 Потому что перед дифференциалами ещё есть [math]\sqrt{x^2+y^2}[/math]. |
|
| Автор: | Nightwish7 [ 06 янв 2013, 15:16 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Масса распределенная по поверхности с плотностью |
Alexdemath А почему перед дифференциалом есть этот корень? |
|
| Автор: | erjoma [ 06 янв 2013, 15:43 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Масса распределенная по поверхности с плотностью |
Nightwish7 Вы проходили поверхностный интеграл первого рода? |
|
| Автор: | Nightwish7 [ 06 янв 2013, 16:23 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Масса распределенная по поверхности с плотностью |
erjoma [math]\sqrt {1 + \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{x^2} + {y^2}}}} = \sqrt {1 + \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{{x^2} + {y^2}}}} = \sqrt {1 + 1} = \sqrt 2[/math] Почему корень остался?? |
|
| Автор: | erjoma [ 07 янв 2013, 01:42 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Масса распределенная по поверхности с плотностью |
Nightwish7 писал(а): erjoma [math]\sqrt {1 + \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{x^2} + {y^2}}}} = \sqrt {1 + \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{{x^2} + {y^2}}}} = \sqrt {1 + 1} = \sqrt 2[/math] Почему корень остался?? Потому что я ошибся. |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|