Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Масса распределенная по поверхности с плотностью
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=21171
Страница 1 из 1

Автор:  Nightwish7 [ 05 янв 2013, 13:18 ]
Заголовок сообщения:  Масса распределенная по поверхности с плотностью

Поверхность конус запечатанный в цилиндр:
[math]$$\sqrt {{x^2} + {y^2}} = z,{x^2} + {y^2} = 2x$$[/math]
Плотность:
[math]$$p(x,y,z) = xy + yz + xz$$[/math]

Параметризация:
[math]$$x = \cos \varphi \cos \psi $$[/math]
[math]$$y = \sin \varphi \cos \psi $$[/math]
[math]$$z = \sin \psi $$[/math]
[math]$$ - \frac{\pi}{2}\leqslant \varphi \leqslant \frac{\pi}{2},\frac{\pi}{4}\leqslant \psi \leqslant \frac{\pi}{2}$$[/math]
Коэффициенты:
[math]$$E ={\cos ^2}\psi $$[/math]
[math]$$G ={\sin ^2}\psi $$[/math]
Двойной интеграл:
[math]$$\iint\limits_\Delta{(\cos \varphi{{\cos}^2}\psi \sin \varphi +}\sin \varphi \cos \psi \sin \psi + \sin \varphi \cos \psi \sin \psi )\cos \psi \sin \psi d\varphi d\psi = $$[/math]
[math]$$ = \int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}{d\psi}\int\limits_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{(\sin \psi \cos \varphi{{\cos}^3}\psi \sin \varphi}+ \sin \varphi{\cos ^2}\psi{\sin ^2}\psi + \cos \varphi )d\varphi = $$[/math]
Первое и второе слагаемое уходят в 0
[math]$$ = 2\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}{{{\cos}^2}\psi{{\sin}^2}\psi d\psi}= \frac{1}{2}\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}{{{\sin}^2}2\psi d\psi}= \frac{1}{4}\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}{d\psi}- \frac{1}{4}\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}{\cos 4\psi d\psi}= \frac{\pi}{{16}}$$[/math]

Вроде бы ответ красивый. Но я сильно сомневаюсь, что я правильно составил двойной интеграл

Автор:  erjoma [ 05 янв 2013, 15:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Масса распределенная по поверхности с плотностью

[math]\begin{gathered} D = \left\{ {\left( {x,y} \right) \,\colon{{(x - 1)}^2} + {y^2} \leqslant 1} \right\} \hfill \\ M = \iint\limits_S {p\left( {x,y,z} \right)dS} = \iint\limits_D {p\left( {x,y,\sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right)\sqrt {1 + \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{x^2} + {y^2}}}} dxdy} = \sqrt 2 \iint\limits_D {p\left( {x,y,\sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right)\sqrt {{x^2} + {y^2}} dxdy} \hfill \\ \end{gathered}[/math]
Перейдем к полярным координатам [math]x = r\cos \varphi ,y = r\sin \varphi[/math]
[math]M = \sqrt 2 \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {d\varphi } \int\limits_0^{2\cos \varphi } {\left( {{r^2}\cos \varphi \sin \varphi + {r^2}\cos \varphi + {r^2}\sin \varphi } \right){r^2}dr} = ... = \frac{{64\sqrt 2 }}{5}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^6}\varphi d\varphi } = ... = 2\sqrt 2 \pi[/math]

Автор:  Nightwish7 [ 05 янв 2013, 17:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Масса распределенная по поверхности с плотностью

Почему якобиан r^2, а не r?

Автор:  Alexdemath [ 06 янв 2013, 11:19 ]
Заголовок сообщения:  Re: Масса распределенная по поверхности с плотностью

Nightwish7

Потому что перед дифференциалами ещё есть [math]\sqrt{x^2+y^2}[/math].

Автор:  Nightwish7 [ 06 янв 2013, 15:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Масса распределенная по поверхности с плотностью

Alexdemath

А почему перед дифференциалом есть этот корень?

Автор:  erjoma [ 06 янв 2013, 15:43 ]
Заголовок сообщения:  Re: Масса распределенная по поверхности с плотностью

Nightwish7

Вы проходили поверхностный интеграл первого рода?

Автор:  Nightwish7 [ 06 янв 2013, 16:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Масса распределенная по поверхности с плотностью

erjoma

[math]\sqrt {1 + \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{x^2} + {y^2}}}} = \sqrt {1 + \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{{x^2} + {y^2}}}} = \sqrt {1 + 1} = \sqrt 2[/math]

Почему корень остался??

Автор:  erjoma [ 07 янв 2013, 01:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Масса распределенная по поверхности с плотностью

Nightwish7 писал(а):
erjoma

[math]\sqrt {1 + \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{x^2} + {y^2}}}} = \sqrt {1 + \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{{x^2} + {y^2}}}} = \sqrt {1 + 1} = \sqrt 2[/math]

Почему корень остался??


Потому что я ошибся.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/