Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Дифференцируемость по параметру
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=20891
Страница 1 из 1

Автор:  number_one [ 24 дек 2012, 15:31 ]
Заголовок сообщения:  Дифференцируемость по параметру

Здравствуйте! Как можно доказать то, что здесь можно вычислить интеграл, применяя дифференцирование по параметру?

[math]\int\limits_0^1\dfrac{\ln(1-a^2x^2)}{\sqrt{1-x^2}}dx\quad\quad |a|\le 1[/math]

Получается, что вот эти условия нарушаются, а интеграл сходится? (см ниже в Демидовиче)

Изображение

У нас ведь [math]\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{-2ax^2}{(1-a^2x^2)\sqrt{1-x^2}}=\infty[/math]

Исследуем равномерную сходимость производной. (хотя какой смысл, если другие условия нарушаются)

[math]I'(a)=\int\limits_0^1\dfrac{-2ax^2}{(1-a^2x^2)\sqrt{1-x^2}}\;dx=\int\limits_0^{0,5}\dfrac{-2ax^2}{(1-a^2x^2)\sqrt{1-x^2}}\;dx+\int\limits_{0,5}^1\dfrac{-2ax^2}{(1-a^2x^2)\sqrt{1-x^2}}\;dx[/math]

При [math]|a|<1[/math] получается так:

[math]\Bigg|\dfrac{-2ax^2}{(1-a^2x^2)\sqrt{1-x^2}}\Bigg|=\Bigg|\dfrac{2}{(1-ax)\cdot 2\cdot \sqrt{1-x^2}}\Bigg|=\Bigg|\dfrac{1}{(1-ax) \sqrt{2(1-x)}}\Bigg|\leqslant \Bigg|\dfrac{1}{(1-a) \sqrt{2(1-x)}}\Bigg|[/math]

А как дальше? Знаю, что интеграл [math]\int\limits_0^1 \dfrac{dx}{\sqrt{1-x}}[/math] сходится.

Но по критерию Вейерштрасса у нас мажоранта не должна зависеть от параметра. А что будет при [math]a=\pm 1[/math]? Как доказать, что равномерной сходимости не будет или будет?

Автор:  Human [ 24 дек 2012, 16:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Дифференцируемость по параметру

number_one писал(а):
Получается, что вот эти условия нарушаются, а интеграл сходится? (см ниже в Демидовиче)


Это условия для собственного интеграла. Для несобственного интеграла с особенностью в [math]A[/math] непрерывность должна выполняться на множестве [math]\{a\leqslant x<A;b\leqslant y\leqslant B\}[/math].

Интеграл от производной не сходится равномерно на [math]\{-1\leqslant a\leqslant1\}[/math], поскольку при [math]a=1[/math] этот интеграл расходится по признаку сравнения с [math]\int\limits_0^1\frac{dx}{(1-x)^{\frac32}}[/math].

Автор:  number_one [ 24 дек 2012, 18:36 ]
Заголовок сообщения:  Re: Дифференцируемость по параметру

Human писал(а):
number_one писал(а):
Получается, что вот эти условия нарушаются, а интеграл сходится? (см ниже в Демидовиче)


Это условия для собственного интеграла. Для несобственного интеграла с особенностью в [math]A[/math] непрерывность должна выполняться на множестве [math]\{a\leqslant x<A;b\leqslant y\leqslant B\}[/math].

Интеграл от производной не сходится равномерно на [math]\{-1\leqslant a\leqslant1\}[/math], поскольку при [math]a=1[/math] этот интеграл расходится по признаку сравнения с [math]\int\limits_0^1\frac{dx}{(1-x)^{\frac32}}[/math].


Хорошо, спасибо. А у нас формула Лейбница тогда не работает, так как не выполняется непрерывность, да? Потому мы не можем дифференцировать по параметру?

Автор:  number_one [ 25 дек 2012, 11:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Дифференцируемость по параметру

Остался все-таки один момент, который не понятен.

Вот мы проверяем - сходится ли равномерно интеграл от производной по параметру на интервале [math](-1;1)[/math] ( случай [math]a=\pm 1[/math] намеренно исключил )

[math]\Bigg|\dfrac{-2ax^2}{(1-a^2x^2)\sqrt{1-x^2}}\Bigg|\leqslant\Bigg|\dfrac{2}{(1-ax)\cdot 2\cdot \sqrt{1-x^2}}\Bigg|\leqslant \Bigg|\dfrac{1}{(1-ax) \sqrt{2(1-x)}}\Bigg|\leqslant \Bigg|\dfrac{1}{(1-a) \sqrt{2(1-x)}}\Bigg|[/math]

Но по критерию Вейерштрасса у нас мажоранта не должна зависеть от параметра, а она зависит. Чем можно ограничить, чтобы мажоранта не зависела от параметра?

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/