Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Исследовать на равномерную сходимость и вычислить интеграл
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=20865
Страница 1 из 1

Автор:  number_one [ 23 дек 2012, 23:38 ]
Заголовок сообщения:  Исследовать на равномерную сходимость и вычислить интеграл

Не получается понять задачи. Может подскажите, если не затруднит...?

1) Исследовать на равномерную сходимость.

[math]\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{e^{-\alpha x}-e^{-\beta x}}{x}\cdot \sin(mx)\;dx[/math]

Не получается разобраться с промежутком [math]x\in [0;1][/math]

На отрезке [math]x\in (1;+\infty)[/math] интеграл равномерно сходится по критерию Вейештрасса.

[math]\Bigg|\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\dfrac{e^{-\alpha x}-e^{-\beta x}}{x}\cdot \sin(mx)\;dx\Bigg|\leqslant \Bigg|\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\dfrac{e^{-\alpha x}-e^{-\beta x}}{x}dx\Bigg|[/math]

А как дальше? Помогите, пожалуйста, разобраться.

2) Исследовать на равномерную сходимость и вычислить интеграл.

[math]\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin x}{x^p+\sin x}\;dx[/math]

[math]\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin x}{x^p+\sin x}\;dx=\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\dfrac{\sin x}{x^p+\sin x}\;dx+\displaystyle\int\limits_{1}^{+\infty}\dfrac{\sin x}{x^p+\sin x}\;dx[/math]

Для исследования равномерной сходимости пытаюсь выбрать мажорирующую функцию. Для [math]x\in [1;+\infty)[/math]

[math]\Bigg|\displaystyle\int\limits_{1}^{+\infty}\dfrac{1}{x^p+\sin x}\;dx\Bigg|\leqslant \Bigg|\displaystyle\int\limits_{1}^{+\infty}\dfrac{1}{x^p+\sin x}\;dx\Bigg|\leqslant \Bigg|\displaystyle\int\limits_{1}^{+\infty}\dfrac{1}{x^p-1}\;dx\Bigg|[/math]

Но ведь мажорирующая функция не должна зависеть от [math]p[/math]....А что будет при [math]x=1[/math] при подобном виде мажорирующей функции?

А какую маожорирующую функцию взять на [math]x\in[0;1][/math]?

Автор:  number_one [ 24 дек 2012, 13:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на равномерную сходимость и вычислить интеграл

Со второй задачей почти разобрался, осталось лишь доказать, что [math]\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{\sin^2 x}{x^p}\;dx[/math] сходится при тех же параметрах p, что и интеграл [math]\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{1}{x^{p}}\;dx[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/