| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Исследовать на равномерную сходимость и вычислить интеграл http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=20865 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | number_one [ 23 дек 2012, 23:38 ] |
| Заголовок сообщения: | Исследовать на равномерную сходимость и вычислить интеграл |
Не получается понять задачи. Может подскажите, если не затруднит...? 1) Исследовать на равномерную сходимость. [math]\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{e^{-\alpha x}-e^{-\beta x}}{x}\cdot \sin(mx)\;dx[/math] Не получается разобраться с промежутком [math]x\in [0;1][/math] На отрезке [math]x\in (1;+\infty)[/math] интеграл равномерно сходится по критерию Вейештрасса. [math]\Bigg|\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\dfrac{e^{-\alpha x}-e^{-\beta x}}{x}\cdot \sin(mx)\;dx\Bigg|\leqslant \Bigg|\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\dfrac{e^{-\alpha x}-e^{-\beta x}}{x}dx\Bigg|[/math] А как дальше? Помогите, пожалуйста, разобраться. 2) Исследовать на равномерную сходимость и вычислить интеграл. [math]\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin x}{x^p+\sin x}\;dx[/math] [math]\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin x}{x^p+\sin x}\;dx=\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\dfrac{\sin x}{x^p+\sin x}\;dx+\displaystyle\int\limits_{1}^{+\infty}\dfrac{\sin x}{x^p+\sin x}\;dx[/math] Для исследования равномерной сходимости пытаюсь выбрать мажорирующую функцию. Для [math]x\in [1;+\infty)[/math] [math]\Bigg|\displaystyle\int\limits_{1}^{+\infty}\dfrac{1}{x^p+\sin x}\;dx\Bigg|\leqslant \Bigg|\displaystyle\int\limits_{1}^{+\infty}\dfrac{1}{x^p+\sin x}\;dx\Bigg|\leqslant \Bigg|\displaystyle\int\limits_{1}^{+\infty}\dfrac{1}{x^p-1}\;dx\Bigg|[/math] Но ведь мажорирующая функция не должна зависеть от [math]p[/math]....А что будет при [math]x=1[/math] при подобном виде мажорирующей функции? А какую маожорирующую функцию взять на [math]x\in[0;1][/math]? |
|
| Автор: | number_one [ 24 дек 2012, 13:14 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследовать на равномерную сходимость и вычислить интеграл |
Со второй задачей почти разобрался, осталось лишь доказать, что [math]\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{\sin^2 x}{x^p}\;dx[/math] сходится при тех же параметрах p, что и интеграл [math]\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{1}{x^{p}}\;dx[/math] |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|