| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Равномерная сходимость несобственного интеграла http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=20816 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | diana_semenova [ 23 дек 2012, 13:56 ] |
| Заголовок сообщения: | Равномерная сходимость несобственного интеграла |
[math]\int\limits_0^\infty {\frac{{x\sin (px)}}{{1 + {x^2}}}dx,p \ge 1}[/math] Вычислить промежуток равномерной сходимости Подскажите хотя бы с чего начать, и в общем как решается |
|
| Автор: | Human [ 23 дек 2012, 14:24 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Равномерная сходимость несобственного интеграла |
Воспользуйтесь признаком Дирихле равномерной сходимости. |
|
| Автор: | diana_semenova [ 23 дек 2012, 17:30 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Равномерная сходимость несобственного интеграла |
Human писал(а): Воспользуйтесь признаком Дирихле равномерной сходимости. А критерий Вейерштрасса не подойдет? |
|
| Автор: | Human [ 23 дек 2012, 17:41 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Равномерная сходимость несобственного интеграла |
Ну, если Вы можете предложить интегрируемую мажоранту, то пожалуйста. И это всё же не "критерий", а "признак". |
|
| Автор: | diana_semenova [ 23 дек 2012, 18:02 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Равномерная сходимость несобственного интеграла |
Human писал(а): Ну, если Вы можете предложить интегрируемую мажоранту, то пожалуйста. И это всё же не "критерий", а "признак". Нет, не смогла такую найти, все стремились в бесконечность. А вот насчет признака Дирихле. Как я поняла, нашу функция нужно разбить на две, причем первообразная одной должна быть ограниченной. А вторая иметь отрицательную производную и стремиться к нулю (при x-> inf) из всех функций которые можно оттуда "выудить", для первой подходит только sin(px). Ее первообразная ограничена. Получившейся функция (вторая) [math]\frac{x}{{1 + {x^2}}}[/math] больше нуля. Ее производная [math]\frac{{1 - {x^2}}}{{{{(1 + {x^2})}^2}}}[/math] вроде бы меньше нуля. И что делать дальше? |
|
| Автор: | Human [ 23 дек 2012, 18:10 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Равномерная сходимость несобственного интеграла |
Вы точно смотрите признак Дирихле для равномерной сходимости? Там несколько другие условия. |
|
| Автор: | diana_semenova [ 23 дек 2012, 18:17 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Равномерная сходимость несобственного интеграла |
Human писал(а): Вы точно смотрите признак Дирихле для равномерной сходимости? Там несколько другие условия. Я смотрела Признак Дирихде на википедии, но по моему он не для равномерной сходимости Вы не могли бы написать условия или ссылочку скинуть, а то я не нахожу нигде |
|
| Автор: | Human [ 23 дек 2012, 18:34 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Равномерная сходимость несобственного интеграла |
Если [math]\int\limits_a^{+\infty}f(x,p)g(x,p)\,dx,\ p\in P[/math], причём 1) [math]f(x,p)[/math] непрерывна по [math]x[/math], а функция [math]g(x,p)[/math] имеет непрерывную по [math]x[/math] производную на [math][a;+\infty)[/math]; 2) функция [math]g(x,p)[/math] при каждом [math]p\in P[/math] монотонно убывает по [math]x[/math] и равномерно стремится к нулю на множестве [math]P[/math] при [math]x\to+\infty[/math]; 3) интегралы [math]\int\limits_a^xf(t,p)\,dt[/math] ограничены в совокупности на множестве [math][a;+\infty)\times P[/math], то есть существует такая константа [math]M[/math], что [math]\left|\int\limits_a^xf(t,p)\,dt\right|<M[/math] на множестве [math][a;+\infty)\times P[/math], то интеграл [math]\int\limits_a^{+\infty}f(x,p)g(x,p)\,dx[/math] сходится равномерно на [math]P[/math]. Есть в учебнике Кудрявцева, например. |
|
| Автор: | diana_semenova [ 23 дек 2012, 18:44 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Равномерная сходимость несобственного интеграла |
Если принять за f(x,p) - sin(px), а g(x,p) - x/1+x^2, получается что наш интеграл равномерно сходится на p>=1. Не так ли? |
|
| Автор: | Human [ 23 дек 2012, 18:52 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Равномерная сходимость несобственного интеграла |
Я не проверял все эти условия, но похоже на правду. |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|