Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Равномерная сходимость несобственного интеграла
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=20816
Страница 1 из 1

Автор:  diana_semenova [ 23 дек 2012, 13:56 ]
Заголовок сообщения:  Равномерная сходимость несобственного интеграла

[math]\int\limits_0^\infty {\frac{{x\sin (px)}}{{1 + {x^2}}}dx,p \ge 1}[/math]

Вычислить промежуток равномерной сходимости

Подскажите хотя бы с чего начать, и в общем как решается

Автор:  Human [ 23 дек 2012, 14:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Равномерная сходимость несобственного интеграла

Воспользуйтесь признаком Дирихле равномерной сходимости.

Автор:  diana_semenova [ 23 дек 2012, 17:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Равномерная сходимость несобственного интеграла

Human писал(а):
Воспользуйтесь признаком Дирихле равномерной сходимости.


А критерий Вейерштрасса не подойдет?

Автор:  Human [ 23 дек 2012, 17:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Равномерная сходимость несобственного интеграла

Ну, если Вы можете предложить интегрируемую мажоранту, то пожалуйста.
И это всё же не "критерий", а "признак".

Автор:  diana_semenova [ 23 дек 2012, 18:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Равномерная сходимость несобственного интеграла

Human писал(а):
Ну, если Вы можете предложить интегрируемую мажоранту, то пожалуйста.
И это всё же не "критерий", а "признак".


Нет, не смогла такую найти, все стремились в бесконечность.

А вот насчет признака Дирихле. Как я поняла, нашу функция нужно разбить на две, причем первообразная одной должна быть ограниченной. А вторая иметь отрицательную производную и стремиться к нулю (при x-> inf)

из всех функций которые можно оттуда "выудить", для первой подходит только sin(px). Ее первообразная ограничена.

Получившейся функция (вторая) [math]\frac{x}{{1 + {x^2}}}[/math] больше нуля. Ее производная [math]\frac{{1 - {x^2}}}{{{{(1 + {x^2})}^2}}}[/math] вроде бы меньше нуля.

И что делать дальше?

Автор:  Human [ 23 дек 2012, 18:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Равномерная сходимость несобственного интеграла

Вы точно смотрите признак Дирихле для равномерной сходимости? Там несколько другие условия.

Автор:  diana_semenova [ 23 дек 2012, 18:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Равномерная сходимость несобственного интеграла

Human писал(а):
Вы точно смотрите признак Дирихле для равномерной сходимости? Там несколько другие условия.


Я смотрела Признак Дирихде на википедии, но по моему он не для равномерной сходимости

Вы не могли бы написать условия или ссылочку скинуть, а то я не нахожу нигде

Автор:  Human [ 23 дек 2012, 18:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Равномерная сходимость несобственного интеграла

Если [math]\int\limits_a^{+\infty}f(x,p)g(x,p)\,dx,\ p\in P[/math], причём

1) [math]f(x,p)[/math] непрерывна по [math]x[/math], а функция [math]g(x,p)[/math] имеет непрерывную по [math]x[/math] производную на [math][a;+\infty)[/math];

2) функция [math]g(x,p)[/math] при каждом [math]p\in P[/math] монотонно убывает по [math]x[/math] и равномерно стремится к нулю на множестве [math]P[/math] при [math]x\to+\infty[/math];

3) интегралы [math]\int\limits_a^xf(t,p)\,dt[/math] ограничены в совокупности на множестве [math][a;+\infty)\times P[/math], то есть существует такая константа [math]M[/math], что [math]\left|\int\limits_a^xf(t,p)\,dt\right|<M[/math] на множестве [math][a;+\infty)\times P[/math],

то интеграл [math]\int\limits_a^{+\infty}f(x,p)g(x,p)\,dx[/math] сходится равномерно на [math]P[/math].

Есть в учебнике Кудрявцева, например.

Автор:  diana_semenova [ 23 дек 2012, 18:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Равномерная сходимость несобственного интеграла

Если принять за f(x,p) - sin(px), а g(x,p) - x/1+x^2, получается что наш интеграл равномерно сходится на p>=1. Не так ли?

Автор:  Human [ 23 дек 2012, 18:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Равномерная сходимость несобственного интеграла

Я не проверял все эти условия, но похоже на правду.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/