Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Интеграл, не сходится с ответом(
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=20790
Страница 1 из 1

Автор:  molotok [ 23 дек 2012, 03:20 ]
Заголовок сообщения:  Интеграл, не сходится с ответом(

Помогите, плиз, с таким интегралом, с ответом не совпадает.

[math]I(a)=\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{x^2-a^2}{x^2+a^2}\cdot\dfrac{\sin x}{x}\;dx[/math]

Вот попытка:

[math]I(a)=\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{x^2+a^2-2a^2}{x^2+a^2}\cdot\dfrac{\sin x}{x}\;dx=\underbrace{\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin x}{x}\;dx}_{\operatorname{Dirihle}}-2a^2\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{1}{x^2+a^2}\cdot\dfrac{\sin x}{x}\;dx=\dfrac{\pi}{2}\operatorname{sgn}(a)-2a^2\underbrace{\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{1}{x^2+a^2}\cdot\dfrac{\sin x}{x}\;dx}_{I_2(a)}[/math]

[math]I_2(a)=\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{1}{x^2+a^2}\cdot\dfrac{\sin x}{x}\;dx=\Bigg|x=at\Bigg|=\dfrac{1}{a^2}\underbrace{\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{1}{t^2+1}\cdot\dfrac{\sin (at)}{t}\;dt}_{I_3(a)}[/math]

[math]{I_3(a)}=\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{1}{t^2+1}\cdot\dfrac{\sin (at)}{t}\;dt[/math]

[math]{I_3'(a)}=a\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{t}{t^2+1}\cdot\dfrac{\cos (at)}{t}\;dt[/math]

[math]{I_3'(a)}=\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{t}{t^2+1}\cdot\dfrac{\cos (at)}{t}\;dt=\dfrac{\pi}{2}e^{-|a|}[/math] (интеграл Лапласа)

[math]I_3(a)=\dfrac{\pi}{2}\displaystyle\int e^{-|a|}da=-\dfrac{\pi}{2}\cdot\operatorname{sgn}(a)e^{-|a|}+C[/math]

[math]I(0)=C=0[/math]

[math]I_3(a)=-\dfrac{\pi}{2}\cdot \operatorname{sgn}(a)e^{-|a|}[/math]

[math]I_2(a)=-\dfrac{\pi}{2}\cdot \dfrac{\operatorname{sgn}(a)e^{-|a|}}{a^2}[/math]

[math]I(a)=\dfrac{\pi}{2}\operatorname{sgn}(a)+2a^2\cdot\dfrac{\pi}{2}\cdot \dfrac{\operatorname{sgn}(a)e^{-|a|}}{a^2}=\dfrac{\pi}{2}\operatorname{sgn}(a)+\pi\cdot \operatorname{sgn}(a)e^{-|a|}[/math]

Но в ответах почему-то [math]\frac{\pi}{2}(e^{-|a|}-1)[/math] + вольфрам подтверждает тот ответ, что в ответах. Так что у меня ошибка. Но найти не могу(

У меня что-то неверно?

Автор:  Avgust [ 23 дек 2012, 06:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл, не сходится с ответом(

Если [math]a\ne 0[/math] то интеграл должен быть таким

[math]\pi (e^{-|a|}-0.5)[/math]

Автор:  Human [ 23 дек 2012, 12:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл, не сходится с ответом(

Во-первых, лишний сигнум в интеграле Дирихле.
Во-вторых, такая замена в интеграле [math]I_2[/math] справедлива лишь при [math]a>0[/math]. Если [math]a<0[/math], то пределы интегрирования будут от [math]0[/math] до [math]-\infty[/math]. В итоге есть зависимость от знака [math]a[/math]. Здесь лучше не делать замену, а сразу ввести параметр под синус ([math]b[/math], например) и дифференцировать по нему.

Но у меня лично получилось то же, что у Avgust'а. Вольфрам тоже такой же ответ выдаёт.

Автор:  never-sleep [ 23 дек 2012, 15:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл, не сходится с ответом(

Странно, у меня вообще получилось [math]\frac{\pi}{2}(e^{-|a|}+1)[/math]

А почему должен быть минус, когда интеграл Дирихле с плюсом?

Автор:  Human [ 23 дек 2012, 16:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл, не сходится с ответом(

Из второго интеграла вылезает ещё [math]-\pi[/math].

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/