| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Много интегралов http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=20788 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | MegaOrion [ 22 дек 2012, 23:30 ] |
| Заголовок сообщения: | Много интегралов |
![]() помогите с решением данных интегралов(любых)!!! |
|
| Автор: | Wersel [ 22 дек 2012, 23:31 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Много интегралов |
Вы спрашивайте, что Вам конкретно непонятно в решении. |
|
| Автор: | MegaOrion [ 22 дек 2012, 23:32 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Много интегралов |
для начала, хотя бы какой метод применять и каким образом |
|
| Автор: | Alexdemath [ 23 дек 2012, 01:15 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Много интегралов |
Первые четыре 1. [math]\int{{2^x}\cdot{3^{2x}}dx}= \int{{2^x}\cdot{9^x}dx}= \int{{{18}^x}dx}= \frac{{{{18}^x}}}{{\ln 18}}+ C[/math] 1.2. [math]\int{\frac{{\sin x}}{{\sqrt[3]{{7 + 2\cos x}}}}dx}= - \frac{1}{2}\int{{{(7 + 2\cos x)}^{- 1\!\not{\phantom{|}}\,\, 3}}d(7 + 2\cos x)}= -\frac{1}{2}\frac{{{{(7 + 2\cos x)}^{1 - 1\!\not{\phantom{|}}\,\, 3}}}}{{1 - 1 \!\!\not{\phantom{|}}\, 3}}+ C = - \frac{3}{4}{(7 + 2\cos x)^{2\!\not{\phantom{|}}\,\, 3}}+ C[/math] 1.3. [math]\begin{aligned}\int\sqrt{\sin x}\cos^5x\,dx&= \int \sin^{1\!\not{\phantom{|}}\,\,2}x(1 - \sin^2x)^2\cos x\,dx = \\ &= \int{{{\sin}^{1\!\not{\phantom{|}}\,\,2}}x(1 - 2{{\sin}^2}x +{{\sin}^4}x)d(\sin x)}= \\ &= \int{({{\sin}^{1\!\not{\phantom{|}}\,\,2}}x - 2{{\sin}^{5\!\not{\phantom{|}}\,\,2}}x +{{\sin}^{9\!\not{\phantom{|}}\,\,2}}x)d(\sin x)}= \\ &= \frac{{{{\sin}^{1 + 1\!\not{\phantom{|}}\,\,2}}x}}{{1 + 1 \!\!\not{\phantom{|}}\, 2}}- 2 \cdot \frac{{{{\sin}^{1 + 5\!\not{\phantom{|}}\,\,2}}x}}{{1 + 5 \!\!\not{\phantom{|}}\, 2}}+ \frac{{{{\sin}^{1 + 9\!\not{\phantom{|}}\,\,2}}x}}{{1 + 9 \!\!\not{\phantom{|}}\, 2}}+ C = \\ &= \frac{2}{3}{\sin ^{3\!\not{\phantom{|}}\,\,2}}x - \frac{4}{7}{\sin ^{7\!\not{\phantom{|}}\,\,2}}x + \frac{2}{{11}}{\sin ^{11\!\not{\phantom{|}}\,\,2}}x + C \end{aligned}[/math] 1.4. [math]\begin{aligned}\int{\frac{{x +{{\arccos}^2}3x}}{{\sqrt{1 - 9x^2}}}dx}&= \int{x{{(1 - 9{x^2})}^{- 1|2}}dx}+ \int{\frac{{{{\arccos}^2}3x}}{{\sqrt{1 - 9{x^2}}}}dx}= \\ &= - \frac{1}{{18}}\int{{{(1 - 9{x^2})}^{- 1\!\not{\phantom{|}}\,\,2}}d(1 - 9{x^2})}- \frac{1}{3}\int{{{\arccos}^2}3xd(\arccos 3x)}= \\ &= - \frac{1}{{18}}\frac{{{{(1 - 9{x^2})}^{1 - 1\!\not{\phantom{|}}\,\,2}}}}{{1 - 1 \!\!\not{\phantom{|}}\, 2}}- \frac{1}{3}\frac{{{{\arccos}^3}3x}}{3}+ C = \\ &= - \frac{1}{9}\sqrt{1 - 9x^2}- \frac{1}{9}{\arccos ^3}3x + C \\ \end{aligned}[/math] |
|
| Автор: | Alexdemath [ 23 дек 2012, 01:53 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Много интегралов |
Примеры 1.9 и 1.2 одинаковые. 1.5. [math]\int{\frac{{\sqrt{1 + \ln x}}}{x}dx}= \int{{{(1 + \ln x)}^{1|2}}d(1 + \ln x)}= \frac{{{{(1 + \ln x)}^{1 + 1\!\not{\phantom{|}}\,\,2}}}}{{1 + 1 \!\!\not{\phantom{|}}\, 2}}+ C = \frac{2}{3}{(1 + \ln x)^{3 \!\not{\phantom{|}}\,\,2}}+ C[/math] 1.6. [math]\int{\frac{{{3^{\operatorname{arctg}x}}}}{{1 +{x^2}}}dx}= \int{{3^{\operatorname{arctg}x}} d(\operatorname{arctg}x)}= \frac{{{3^{\operatorname{arctg}x}}}}{{\ln 3}}+ C[/math] 1.7. [math]{\int\frac{dx}{\sqrt x (1 + \sqrt x )}}= \left| \begin{aligned}\sqrt x &= t,\\ \frac{dx}{{\sqrt x}}&= 2dt \end{aligned}\right| = 2\int{\frac{{dt}}{{1 + t}}}= 2\ln |1 + t| + C = 2\ln (1 + \sqrt x ) + C}[/math] 1.8. [math]\int{\frac{{\cos x}}{{\sqrt[3]{{{{\sin}^2}x}}}}dx}= \int{{{\sin}^{- 2\!\not{\phantom{|}}\,\,3}}x\,d(\sin x)}= \frac{{{{\sin}^{1 - 2\!\not{\phantom{|}}\,\,3}}x}}{{1 - 2 \!\!\not{\phantom{|}}\, 3}}+ C = 3\sqrt[3]{{\sin x}}+ C[/math] 1.10. [math]\begin{gathered}\int{\frac{{x - 1}}{{{x^3}+ x}}dx}= \int{\frac{{x - 1}}{{({x^2}+ 1)x}}dx}\hfill \\ \frac{{x - 1}}{{x({x^2}+ 1)}}= \frac{A}{x}+ \frac{{Bx + D}}{{{x^2}+ 1}}\hfill \\ x - 1 = A({x^2}+ 1) + (Bx + D)x = (A + B){x^2}+ Dx + A \hfill \\ \left\{\begin{gathered}A = - 1, \hfill \\ A + B = 0, \hfill \\ D = 1, \hfill \\ \end{gathered}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{gathered}A = - 1, \hfill \\ B = 1, \hfill \\ D = 1. \hfill \\ \end{gathered}\right. \hfill \\ \int{\frac{{x - 1}}{{{x^3}+ x}}dx}= \int{\left({- \frac{1}{x}+ \frac{{x + 1}}{{{x^2}+ 1}}}\right)dx}= - \ln x + \frac{1}{2}\ln ({x^2}+ 1) + \operatorname{arctg}x + C \hfill \\ \end{gathered}[/math] |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|