| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Несобственный интеграл http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=20712 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | dark_ai [ 21 дек 2012, 02:27 ] |
| Заголовок сообщения: | Несобственный интеграл |
Как доказать что: [math]}\int\limets_{0}^{+\infty}e^{-a{x^2}}cos({b{x^2}})dx = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{a^2+b^2}}}, a > 0[/math] |
|
| Автор: | Avgust [ 21 дек 2012, 10:33 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Несобственный интеграл |
Очень красивая функция:
|
|
| Автор: | Human [ 22 дек 2012, 09:30 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Несобственный интеграл |
Если следовать идее вывода интеграла Френеля (замена [math]t=bx^2[/math], подстановка [math]\frac1{\sqrt t}=\frac2{\sqrt{\pi}}\int_0^{+\infty}e^{-u^2t}\,du[/math], замена порядка интегрирования и взятие интеграла [math]\int_0^{+\infty}e^{-(\frac a b+u^2)t}\cos t\,dt[/math] по частям), то можно прийти к выражению [math]\frac1{\sqrt{\pi b}}\int_0^{+\infty}\frac{\frac a b+u^2}{(\frac a b+u^2)^2+1}\,du[/math] Этот интеграл рациональный, то есть его теоретически можно взять по известным алгоритмам, но этот процесс слишком трудоёмкий. |
|
| Автор: | Prokop [ 22 дек 2012, 11:51 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Несобственный интеграл |
dark_ai Можно воспользоваться теорией функций комплексного переменного. |
|
| Автор: | Human [ 22 дек 2012, 13:05 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Несобственный интеграл |
Решил по своему способу. Убил на это где-то с час времени По крайней мере ответ сошёлся.
|
|
| Автор: | Prokop [ 22 дек 2012, 13:53 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Несобственный интеграл |
Используем интеграл Пуассона [math]\int\limits_{- \infty}^\infty{e^{- zt^2}dt}= \sqrt{\frac{\pi}{z}}[/math] при [math]{\mathop{\rm Re}\nolimits}z > 0[/math] Тогда исходный интеграл равен [math]\frac{1}{4}\int\limits_{- \infty}^\infty{e^{- ax^2}\left({e^{ibx^2}+ e^{- ibx^2}}\right)dt}= \frac{{\sqrt \pi}}{4}\left({\frac{1}{{\sqrt{a - bi}}}+ \frac{1}{{\sqrt{a + bi}}}}\right) = \frac{{\sqrt \pi}}{4}\frac{{\sqrt{a + bi}+ \sqrt{a - bi}}}{{\sqrt{a^2 + b^2}}}= \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{{\sqrt{a + \sqrt{a^2 + b^2}}}}{{\sqrt{a^2 + b^2}}}[/math] |
|
| Автор: | andrei [ 22 дек 2012, 17:27 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Несобственный интеграл |
Г.М.Фихтенгольц п.523 ![]()
|
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|