Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Несобственный интеграл
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=20712
Страница 1 из 1

Автор:  dark_ai [ 21 дек 2012, 02:27 ]
Заголовок сообщения:  Несобственный интеграл

Как доказать что:
[math]}\int\limets_{0}^{+\infty}e^{-a{x^2}}cos({b{x^2}})dx = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{a^2+b^2}}}, a > 0[/math]

Автор:  Avgust [ 21 дек 2012, 10:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобственный интеграл

Очень красивая функция:

Изображение

Автор:  Human [ 22 дек 2012, 09:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобственный интеграл

Если следовать идее вывода интеграла Френеля (замена [math]t=bx^2[/math], подстановка [math]\frac1{\sqrt t}=\frac2{\sqrt{\pi}}\int_0^{+\infty}e^{-u^2t}\,du[/math], замена порядка интегрирования и взятие интеграла [math]\int_0^{+\infty}e^{-(\frac a b+u^2)t}\cos t\,dt[/math] по частям), то можно прийти к выражению

[math]\frac1{\sqrt{\pi b}}\int_0^{+\infty}\frac{\frac a b+u^2}{(\frac a b+u^2)^2+1}\,du[/math]

Этот интеграл рациональный, то есть его теоретически можно взять по известным алгоритмам, но этот процесс слишком трудоёмкий.

Автор:  Prokop [ 22 дек 2012, 11:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобственный интеграл

dark_ai Можно воспользоваться теорией функций комплексного переменного.

Автор:  Human [ 22 дек 2012, 13:05 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобственный интеграл

Решил по своему способу. Убил на это где-то с час времени :%) По крайней мере ответ сошёлся.

Автор:  Prokop [ 22 дек 2012, 13:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобственный интеграл

Используем интеграл Пуассона
[math]\int\limits_{- \infty}^\infty{e^{- zt^2}dt}= \sqrt{\frac{\pi}{z}}[/math]
при [math]{\mathop{\rm Re}\nolimits}z > 0[/math]
Тогда исходный интеграл равен
[math]\frac{1}{4}\int\limits_{- \infty}^\infty{e^{- ax^2}\left({e^{ibx^2}+ e^{- ibx^2}}\right)dt}= \frac{{\sqrt \pi}}{4}\left({\frac{1}{{\sqrt{a - bi}}}+ \frac{1}{{\sqrt{a + bi}}}}\right) = \frac{{\sqrt \pi}}{4}\frac{{\sqrt{a + bi}+ \sqrt{a - bi}}}{{\sqrt{a^2 + b^2}}}= \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{{\sqrt{a + \sqrt{a^2 + b^2}}}}{{\sqrt{a^2 + b^2}}}[/math]

Автор:  andrei [ 22 дек 2012, 17:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобственный интеграл

Г.М.Фихтенгольц п.523
Изображение
Изображение

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/