Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Несобственный интеграл
СообщениеДобавлено: 21 дек 2012, 02:27 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
13 окт 2011, 00:20
Сообщений: 21
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Как доказать что:
[math]}\int\limets_{0}^{+\infty}e^{-a{x^2}}cos({b{x^2}})dx = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{a^2+b^2}}}, a > 0[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несобственный интеграл
СообщениеДобавлено: 21 дек 2012, 10:33 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13570
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1292
Спасибо получено:
3625 раз в 3182 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Очень красивая функция:

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Несобственный интеграл
СообщениеДобавлено: 22 дек 2012, 09:30 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если следовать идее вывода интеграла Френеля (замена [math]t=bx^2[/math], подстановка [math]\frac1{\sqrt t}=\frac2{\sqrt{\pi}}\int_0^{+\infty}e^{-u^2t}\,du[/math], замена порядка интегрирования и взятие интеграла [math]\int_0^{+\infty}e^{-(\frac a b+u^2)t}\cos t\,dt[/math] по частям), то можно прийти к выражению

[math]\frac1{\sqrt{\pi b}}\int_0^{+\infty}\frac{\frac a b+u^2}{(\frac a b+u^2)^2+1}\,du[/math]

Этот интеграл рациональный, то есть его теоретически можно взять по известным алгоритмам, но этот процесс слишком трудоёмкий.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Несобственный интеграл
СообщениеДобавлено: 22 дек 2012, 11:51 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
dark_ai Можно воспользоваться теорией функций комплексного переменного.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Несобственный интеграл
СообщениеДобавлено: 22 дек 2012, 13:05 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Решил по своему способу. Убил на это где-то с час времени :%) По крайней мере ответ сошёлся.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несобственный интеграл
СообщениеДобавлено: 22 дек 2012, 13:53 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Используем интеграл Пуассона
[math]\int\limits_{- \infty}^\infty{e^{- zt^2}dt}= \sqrt{\frac{\pi}{z}}[/math]
при [math]{\mathop{\rm Re}\nolimits}z > 0[/math]
Тогда исходный интеграл равен
[math]\frac{1}{4}\int\limits_{- \infty}^\infty{e^{- ax^2}\left({e^{ibx^2}+ e^{- ibx^2}}\right)dt}= \frac{{\sqrt \pi}}{4}\left({\frac{1}{{\sqrt{a - bi}}}+ \frac{1}{{\sqrt{a + bi}}}}\right) = \frac{{\sqrt \pi}}{4}\frac{{\sqrt{a + bi}+ \sqrt{a - bi}}}{{\sqrt{a^2 + b^2}}}= \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{{\sqrt{a + \sqrt{a^2 + b^2}}}}{{\sqrt{a^2 + b^2}}}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
Avgust
 Заголовок сообщения: Re: Несобственный интеграл
СообщениеДобавлено: 22 дек 2012, 17:27 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 май 2011, 10:27
Сообщений: 7856
Cпасибо сказано: 629
Спасибо получено:
7057 раз в 5487 сообщениях
Очков репутации: 317

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Г.М.Фихтенгольц п.523
Изображение
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю andrei "Спасибо" сказали:
Avgust
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

351w

2

296

29 ноя 2017, 19:34

Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Katrina7

5

305

26 окт 2017, 16:20

Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

buffon96

0

217

06 май 2015, 14:54

Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

ExtreMaLLlka

7

749

24 июн 2015, 08:42

Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Alexand

2

144

16 май 2020, 14:11

Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

photographer

1

544

10 май 2015, 15:07

Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

351w

1

248

27 дек 2020, 22:56

Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

351w

1

133

27 дек 2020, 22:43

Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Zema480

0

248

24 окт 2015, 11:54

Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

351w

12

365

27 дек 2020, 22:49


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved