| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Два несобственных интеграла http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=20709 |
Страница 1 из 2 |
| Автор: | molotok [ 21 дек 2012, 01:30 ] |
| Заголовок сообщения: | Два несобственных интеграла |
![]() У меня есть пока что такие идеи ![]()
|
|
| Автор: | Prokop [ 22 дек 2012, 11:47 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Два несобственных интеграла |
Первый интеграл берётся в рамках вещественного анализа (дифференцирование по параметру). Ответ: [math]\frac{\pi}{2}\ln \left({\sqrt 2 + 1}\right)[/math] При вычислении второго интеграла можно использовать теорию функций комплексного переменного.. Ответ: [math]\frac{\pi}{3}[/math] (если не ошибся) |
|
| Автор: | molotok [ 22 дек 2012, 13:26 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Два несобственных интеграла |
Prokop писал(а): Первый интеграл берётся в рамках вещественного анализа (дифференцирование по параметру). Ответ: [math]\frac{\pi}{2}\ln \left({\sqrt 2 + 1}\right)[/math] При вычислении второго интеграла можно использовать теорию функций комплексного переменного.. Ответ: [math]\frac{\pi}{3}[/math] (если не ошибся) 1) [math]I(\alpha)=\int\limits_0^1\dfrac{\arctg(\alpha x)}{x\sqrt{1-x^2}}dx[/math] [math]I'(\alpha)=\int\limits_0^1\dfrac{xdx}{x(1+\alpha^2x^2)\sqrt{1-x^2}}=\int\limits_0^1\dfrac{dx}{(1+\alpha^2x^2)\sqrt{1-x^2}}[/math] [math]x=\cos t[/math] [math]I'(\alpha)=\int\limits_0^{\pi|2}\dfrac{\sin tdt}{(1+\alpha^2\cos^2t)\sin t}=\int\limits_0^{\pi|2}\dfrac{dt}{(1+\alpha^2\cos^2t)}=[/math] А как дальше? |
|
| Автор: | molotok [ 22 дек 2012, 13:30 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Два несобственных интеграла |
А во второй задаче - можно так? Тут нужно без использования ТФКП.... 2) [math]\int\limits_0^{\+\infty}\dfrac{\sin^4(2x)}{x^4}[/math] 2) [math]I(\alpha)=\int\limits_0^{\+\infty}\dfrac{\sin^4(\alpha x)}{x^4}[/math] [math]I'(\alpha)=\int\limits_0^{\+\infty}\dfrac{4\sin^3(\alpha x)\cos(\alpha x)}{x^4}dx[/math] [math]I''(\alpha)=\int\limits_0^{\+\infty}\dfrac{12\sin^2(\alpha x)\cos^2(\alpha x)-4\sin^4(\alpha x)}{x^4}dx=12\int\limits_0^{\+\infty}\dfrac{\sin^2(\alpha x)\cos^2(\alpha x)}{x^4}dx-4I(\alpha)[/math] |
|
| Автор: | Prokop [ 22 дек 2012, 14:01 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Два несобственных интеграла |
В первой [math]\int\limits_0^{\pi |2}{\frac{{dt}}{{\left({1 + \alpha ^2 \cos ^2 t}\right)}}}= \left.{\frac{1}{{\sqrt{1 + \alpha ^2}}}{\mathop{\rm arctg}\nolimits}\left({\frac{{{\mathop{\rm tg}\nolimits}t}}{{\sqrt{1 + \alpha ^2}}}}\right)}\right|_0^{\pi |2}= \frac{\pi}{2}\frac{1}{{\sqrt{1 + \alpha ^2}}}[/math] Во второй задаче у Вас получился расходящийся интеграл. |
|
| Автор: | Human [ 22 дек 2012, 14:15 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Два несобственных интеграла |
Второй можно несколько раз взять по частям и в конце концов свести к интегралу Дирихле. У меня получилось [math]\frac{8\pi}3[/math]. |
|
| Автор: | molotok [ 22 дек 2012, 14:20 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Два несобственных интеграла |
Human писал(а): Второй можно несколько раз взять по частям и в конце концов свести к интегралу Дирихле. У меня получилось [math]\frac{8\pi}3[/math]. Спасибо. А что взять [math]u[/math], а что за [math]dv[/math], когда первый раз берем по частям? |
|
| Автор: | Human [ 22 дек 2012, 14:23 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Два несобственных интеграла |
Всё время за [math]u[/math] нужно брать числитель дроби. |
|
| Автор: | molotok [ 22 дек 2012, 14:23 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Два несобственных интеграла |
Prokop писал(а): В первой [math]\int\limits_0^{\pi |2}{\frac{{dt}}{{\left({1 + \alpha ^2 \cos ^2 t}\right)}}}= \left.{\frac{1}{{\sqrt{1 + \alpha ^2}}}{\mathop{\rm arctg}\nolimits}\left({\frac{{{\mathop{\rm tg}\nolimits}t}}{{\sqrt{1 + \alpha ^2}}}}\right)}\right|_0^{\pi |2}= \frac{\pi}{2}\frac{1}{{\sqrt{1 + \alpha ^2}}}[/math] Во второй задаче у Вас получился расходящийся интеграл. Спасибо. А как вы так взяли этот [math]\int\limits_0^{\pi |2}{\frac{{dt}}{{\left({1 + \alpha ^2 \cos ^2 t}\right)}}}[/math] интеграл? Подскажите, пожалуйста, замену или что вы здесь использовали? |
|
| Автор: | Prokop [ 22 дек 2012, 14:28 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Два несобственных интеграла |
Стандартная тригонометрическая подстановка [math]s ={\mathop{\rm tg}\nolimits}t[/math] |
|
| Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|