Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Два несобственных интеграла
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=20709
Страница 1 из 2

Автор:  molotok [ 21 дек 2012, 01:30 ]
Заголовок сообщения:  Два несобственных интеграла

Изображение

У меня есть пока что такие идеи

Изображение

Изображение

Автор:  Prokop [ 22 дек 2012, 11:47 ]
Заголовок сообщения:  Re: Два несобственных интеграла

Первый интеграл берётся в рамках вещественного анализа (дифференцирование по параметру). Ответ: [math]\frac{\pi}{2}\ln \left({\sqrt 2 + 1}\right)[/math]
При вычислении второго интеграла можно использовать теорию функций комплексного переменного.. Ответ: [math]\frac{\pi}{3}[/math] (если не ошибся)

Автор:  molotok [ 22 дек 2012, 13:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Два несобственных интеграла

Prokop писал(а):
Первый интеграл берётся в рамках вещественного анализа (дифференцирование по параметру). Ответ: [math]\frac{\pi}{2}\ln \left({\sqrt 2 + 1}\right)[/math]
При вычислении второго интеграла можно использовать теорию функций комплексного переменного.. Ответ: [math]\frac{\pi}{3}[/math] (если не ошибся)


1)

[math]I(\alpha)=\int\limits_0^1\dfrac{\arctg(\alpha x)}{x\sqrt{1-x^2}}dx[/math]

[math]I'(\alpha)=\int\limits_0^1\dfrac{xdx}{x(1+\alpha^2x^2)\sqrt{1-x^2}}=\int\limits_0^1\dfrac{dx}{(1+\alpha^2x^2)\sqrt{1-x^2}}[/math]

[math]x=\cos t[/math]

[math]I'(\alpha)=\int\limits_0^{\pi|2}\dfrac{\sin tdt}{(1+\alpha^2\cos^2t)\sin t}=\int\limits_0^{\pi|2}\dfrac{dt}{(1+\alpha^2\cos^2t)}=[/math]

А как дальше?

Автор:  molotok [ 22 дек 2012, 13:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Два несобственных интеграла

А во второй задаче - можно так? Тут нужно без использования ТФКП....

2) [math]\int\limits_0^{\+\infty}\dfrac{\sin^4(2x)}{x^4}[/math]

2) [math]I(\alpha)=\int\limits_0^{\+\infty}\dfrac{\sin^4(\alpha x)}{x^4}[/math]

[math]I'(\alpha)=\int\limits_0^{\+\infty}\dfrac{4\sin^3(\alpha x)\cos(\alpha x)}{x^4}dx[/math]

[math]I''(\alpha)=\int\limits_0^{\+\infty}\dfrac{12\sin^2(\alpha x)\cos^2(\alpha x)-4\sin^4(\alpha x)}{x^4}dx=12\int\limits_0^{\+\infty}\dfrac{\sin^2(\alpha x)\cos^2(\alpha x)}{x^4}dx-4I(\alpha)[/math]

Автор:  Prokop [ 22 дек 2012, 14:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Два несобственных интеграла

В первой
[math]\int\limits_0^{\pi |2}{\frac{{dt}}{{\left({1 + \alpha ^2 \cos ^2 t}\right)}}}= \left.{\frac{1}{{\sqrt{1 + \alpha ^2}}}{\mathop{\rm arctg}\nolimits}\left({\frac{{{\mathop{\rm tg}\nolimits}t}}{{\sqrt{1 + \alpha ^2}}}}\right)}\right|_0^{\pi |2}= \frac{\pi}{2}\frac{1}{{\sqrt{1 + \alpha ^2}}}[/math]
Во второй задаче у Вас получился расходящийся интеграл.

Автор:  Human [ 22 дек 2012, 14:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: Два несобственных интеграла

Второй можно несколько раз взять по частям и в конце концов свести к интегралу Дирихле. У меня получилось [math]\frac{8\pi}3[/math].

Автор:  molotok [ 22 дек 2012, 14:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Два несобственных интеграла

Human писал(а):
Второй можно несколько раз взять по частям и в конце концов свести к интегралу Дирихле. У меня получилось [math]\frac{8\pi}3[/math].


Спасибо. А что взять [math]u[/math], а что за [math]dv[/math], когда первый раз берем по частям?

Автор:  Human [ 22 дек 2012, 14:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Два несобственных интеграла

Всё время за [math]u[/math] нужно брать числитель дроби.

Автор:  molotok [ 22 дек 2012, 14:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Два несобственных интеграла

Prokop писал(а):
В первой
[math]\int\limits_0^{\pi |2}{\frac{{dt}}{{\left({1 + \alpha ^2 \cos ^2 t}\right)}}}= \left.{\frac{1}{{\sqrt{1 + \alpha ^2}}}{\mathop{\rm arctg}\nolimits}\left({\frac{{{\mathop{\rm tg}\nolimits}t}}{{\sqrt{1 + \alpha ^2}}}}\right)}\right|_0^{\pi |2}= \frac{\pi}{2}\frac{1}{{\sqrt{1 + \alpha ^2}}}[/math]
Во второй задаче у Вас получился расходящийся интеграл.


Спасибо. А как вы так взяли этот [math]\int\limits_0^{\pi |2}{\frac{{dt}}{{\left({1 + \alpha ^2 \cos ^2 t}\right)}}}[/math] интеграл? Подскажите, пожалуйста, замену или что вы здесь использовали?

Автор:  Prokop [ 22 дек 2012, 14:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: Два несобственных интеграла

Стандартная тригонометрическая подстановка [math]s ={\mathop{\rm tg}\nolimits}t[/math]

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/