Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 12 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
| Автор | Сообщение | |
|---|---|---|
| molotok |
|
|
| Вернуться к началу | ||
| Prokop |
|
|
|
Первый интеграл берётся в рамках вещественного анализа (дифференцирование по параметру). Ответ: [math]\frac{\pi}{2}\ln \left({\sqrt 2 + 1}\right)[/math]
При вычислении второго интеграла можно использовать теорию функций комплексного переменного.. Ответ: [math]\frac{\pi}{3}[/math] (если не ошибся) |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: mad_math, molotok |
||
| molotok |
|
|
|
Prokop писал(а): Первый интеграл берётся в рамках вещественного анализа (дифференцирование по параметру). Ответ: [math]\frac{\pi}{2}\ln \left({\sqrt 2 + 1}\right)[/math] При вычислении второго интеграла можно использовать теорию функций комплексного переменного.. Ответ: [math]\frac{\pi}{3}[/math] (если не ошибся) 1) [math]I(\alpha)=\int\limits_0^1\dfrac{\arctg(\alpha x)}{x\sqrt{1-x^2}}dx[/math] [math]I'(\alpha)=\int\limits_0^1\dfrac{xdx}{x(1+\alpha^2x^2)\sqrt{1-x^2}}=\int\limits_0^1\dfrac{dx}{(1+\alpha^2x^2)\sqrt{1-x^2}}[/math] [math]x=\cos t[/math] [math]I'(\alpha)=\int\limits_0^{\pi|2}\dfrac{\sin tdt}{(1+\alpha^2\cos^2t)\sin t}=\int\limits_0^{\pi|2}\dfrac{dt}{(1+\alpha^2\cos^2t)}=[/math] А как дальше? |
||
| Вернуться к началу | ||
| molotok |
|
|
|
А во второй задаче - можно так? Тут нужно без использования ТФКП....
2) [math]\int\limits_0^{\+\infty}\dfrac{\sin^4(2x)}{x^4}[/math] 2) [math]I(\alpha)=\int\limits_0^{\+\infty}\dfrac{\sin^4(\alpha x)}{x^4}[/math] [math]I'(\alpha)=\int\limits_0^{\+\infty}\dfrac{4\sin^3(\alpha x)\cos(\alpha x)}{x^4}dx[/math] [math]I''(\alpha)=\int\limits_0^{\+\infty}\dfrac{12\sin^2(\alpha x)\cos^2(\alpha x)-4\sin^4(\alpha x)}{x^4}dx=12\int\limits_0^{\+\infty}\dfrac{\sin^2(\alpha x)\cos^2(\alpha x)}{x^4}dx-4I(\alpha)[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| Prokop |
|
|
|
В первой
[math]\int\limits_0^{\pi |2}{\frac{{dt}}{{\left({1 + \alpha ^2 \cos ^2 t}\right)}}}= \left.{\frac{1}{{\sqrt{1 + \alpha ^2}}}{\mathop{\rm arctg}\nolimits}\left({\frac{{{\mathop{\rm tg}\nolimits}t}}{{\sqrt{1 + \alpha ^2}}}}\right)}\right|_0^{\pi |2}= \frac{\pi}{2}\frac{1}{{\sqrt{1 + \alpha ^2}}}[/math] Во второй задаче у Вас получился расходящийся интеграл. |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: molotok |
||
| Human |
|
|
|
Второй можно несколько раз взять по частям и в конце концов свести к интегралу Дирихле. У меня получилось [math]\frac{8\pi}3[/math].
|
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали: molotok |
||
| molotok |
|
|
|
Human писал(а): Второй можно несколько раз взять по частям и в конце концов свести к интегралу Дирихле. У меня получилось [math]\frac{8\pi}3[/math]. Спасибо. А что взять [math]u[/math], а что за [math]dv[/math], когда первый раз берем по частям? |
||
| Вернуться к началу | ||
| Human |
|
|
|
Всё время за [math]u[/math] нужно брать числитель дроби.
|
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали: molotok |
||
| molotok |
|
|
|
Prokop писал(а): В первой [math]\int\limits_0^{\pi |2}{\frac{{dt}}{{\left({1 + \alpha ^2 \cos ^2 t}\right)}}}= \left.{\frac{1}{{\sqrt{1 + \alpha ^2}}}{\mathop{\rm arctg}\nolimits}\left({\frac{{{\mathop{\rm tg}\nolimits}t}}{{\sqrt{1 + \alpha ^2}}}}\right)}\right|_0^{\pi |2}= \frac{\pi}{2}\frac{1}{{\sqrt{1 + \alpha ^2}}}[/math] Во второй задаче у Вас получился расходящийся интеграл. Спасибо. А как вы так взяли этот [math]\int\limits_0^{\pi |2}{\frac{{dt}}{{\left({1 + \alpha ^2 \cos ^2 t}\right)}}}[/math] интеграл? Подскажите, пожалуйста, замену или что вы здесь использовали? |
||
| Вернуться к началу | ||
| Prokop |
|
|
|
Стандартная тригонометрическая подстановка [math]s ={\mathop{\rm tg}\nolimits}t[/math]
|
||
| Вернуться к началу | ||
|
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 12 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |