Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Два несобственных интеграла
СообщениеДобавлено: 21 дек 2012, 01:30 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
22 сен 2012, 14:21
Сообщений: 27
Cпасибо сказано: 14
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Изображение

У меня есть пока что такие идеи

Изображение

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Два несобственных интеграла
СообщениеДобавлено: 22 дек 2012, 11:47 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Первый интеграл берётся в рамках вещественного анализа (дифференцирование по параметру). Ответ: [math]\frac{\pi}{2}\ln \left({\sqrt 2 + 1}\right)[/math]
При вычислении второго интеграла можно использовать теорию функций комплексного переменного.. Ответ: [math]\frac{\pi}{3}[/math] (если не ошибся)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
mad_math, molotok
 Заголовок сообщения: Re: Два несобственных интеграла
СообщениеДобавлено: 22 дек 2012, 13:26 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
22 сен 2012, 14:21
Сообщений: 27
Cпасибо сказано: 14
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop писал(а):
Первый интеграл берётся в рамках вещественного анализа (дифференцирование по параметру). Ответ: [math]\frac{\pi}{2}\ln \left({\sqrt 2 + 1}\right)[/math]
При вычислении второго интеграла можно использовать теорию функций комплексного переменного.. Ответ: [math]\frac{\pi}{3}[/math] (если не ошибся)


1)

[math]I(\alpha)=\int\limits_0^1\dfrac{\arctg(\alpha x)}{x\sqrt{1-x^2}}dx[/math]

[math]I'(\alpha)=\int\limits_0^1\dfrac{xdx}{x(1+\alpha^2x^2)\sqrt{1-x^2}}=\int\limits_0^1\dfrac{dx}{(1+\alpha^2x^2)\sqrt{1-x^2}}[/math]

[math]x=\cos t[/math]

[math]I'(\alpha)=\int\limits_0^{\pi|2}\dfrac{\sin tdt}{(1+\alpha^2\cos^2t)\sin t}=\int\limits_0^{\pi|2}\dfrac{dt}{(1+\alpha^2\cos^2t)}=[/math]

А как дальше?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Два несобственных интеграла
СообщениеДобавлено: 22 дек 2012, 13:30 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
22 сен 2012, 14:21
Сообщений: 27
Cпасибо сказано: 14
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А во второй задаче - можно так? Тут нужно без использования ТФКП....

2) [math]\int\limits_0^{\+\infty}\dfrac{\sin^4(2x)}{x^4}[/math]

2) [math]I(\alpha)=\int\limits_0^{\+\infty}\dfrac{\sin^4(\alpha x)}{x^4}[/math]

[math]I'(\alpha)=\int\limits_0^{\+\infty}\dfrac{4\sin^3(\alpha x)\cos(\alpha x)}{x^4}dx[/math]

[math]I''(\alpha)=\int\limits_0^{\+\infty}\dfrac{12\sin^2(\alpha x)\cos^2(\alpha x)-4\sin^4(\alpha x)}{x^4}dx=12\int\limits_0^{\+\infty}\dfrac{\sin^2(\alpha x)\cos^2(\alpha x)}{x^4}dx-4I(\alpha)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Два несобственных интеграла
СообщениеДобавлено: 22 дек 2012, 14:01 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В первой
[math]\int\limits_0^{\pi |2}{\frac{{dt}}{{\left({1 + \alpha ^2 \cos ^2 t}\right)}}}= \left.{\frac{1}{{\sqrt{1 + \alpha ^2}}}{\mathop{\rm arctg}\nolimits}\left({\frac{{{\mathop{\rm tg}\nolimits}t}}{{\sqrt{1 + \alpha ^2}}}}\right)}\right|_0^{\pi |2}= \frac{\pi}{2}\frac{1}{{\sqrt{1 + \alpha ^2}}}[/math]
Во второй задаче у Вас получился расходящийся интеграл.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
molotok
 Заголовок сообщения: Re: Два несобственных интеграла
СообщениеДобавлено: 22 дек 2012, 14:15 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Второй можно несколько раз взять по частям и в конце концов свести к интегралу Дирихле. У меня получилось [math]\frac{8\pi}3[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
molotok
 Заголовок сообщения: Re: Два несобственных интеграла
СообщениеДобавлено: 22 дек 2012, 14:20 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
22 сен 2012, 14:21
Сообщений: 27
Cпасибо сказано: 14
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human писал(а):
Второй можно несколько раз взять по частям и в конце концов свести к интегралу Дирихле. У меня получилось [math]\frac{8\pi}3[/math].


Спасибо. А что взять [math]u[/math], а что за [math]dv[/math], когда первый раз берем по частям?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Два несобственных интеграла
СообщениеДобавлено: 22 дек 2012, 14:23 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Всё время за [math]u[/math] нужно брать числитель дроби.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
molotok
 Заголовок сообщения: Re: Два несобственных интеграла
СообщениеДобавлено: 22 дек 2012, 14:23 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
22 сен 2012, 14:21
Сообщений: 27
Cпасибо сказано: 14
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop писал(а):
В первой
[math]\int\limits_0^{\pi |2}{\frac{{dt}}{{\left({1 + \alpha ^2 \cos ^2 t}\right)}}}= \left.{\frac{1}{{\sqrt{1 + \alpha ^2}}}{\mathop{\rm arctg}\nolimits}\left({\frac{{{\mathop{\rm tg}\nolimits}t}}{{\sqrt{1 + \alpha ^2}}}}\right)}\right|_0^{\pi |2}= \frac{\pi}{2}\frac{1}{{\sqrt{1 + \alpha ^2}}}[/math]
Во второй задаче у Вас получился расходящийся интеграл.


Спасибо. А как вы так взяли этот [math]\int\limits_0^{\pi |2}{\frac{{dt}}{{\left({1 + \alpha ^2 \cos ^2 t}\right)}}}[/math] интеграл? Подскажите, пожалуйста, замену или что вы здесь использовали?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Два несобственных интеграла
СообщениеДобавлено: 22 дек 2012, 14:28 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Стандартная тригонометрическая подстановка [math]s ={\mathop{\rm tg}\nolimits}t[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 12 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Вычислить два несобственных интеграла

в форуме Интегральное исчисление

God_mode_2016

8

232

08 июн 2024, 15:02

Сходимость несобственных интегралов

в форуме Интегральное исчисление

DorianT

2

238

24 дек 2017, 11:54

Сходимость несобственных интегралов

в форуме Интегральное исчисление

DorianT

1

273

22 дек 2017, 11:43

Сходимость несобственных интегралов

в форуме Интегральное исчисление

DorianT

5

314

22 дек 2017, 11:34

Сходимость несобственных интегралов

в форуме Интегральное исчисление

351w

7

321

17 май 2019, 17:40

Сходимость несобственных интегралов

в форуме Интегральное исчисление

MashaKirpichnikova

0

332

01 апр 2015, 18:19

Сходимость несобственных интегралов

в форуме Интегральное исчисление

dmitriy271

1

302

25 июн 2016, 18:21

Сходимость несобственных интегралов

в форуме Интегральное исчисление

kristalliks

5

348

10 май 2022, 00:48

Сходимость несобственных интегралов

в форуме Интегральное исчисление

kristalliks

6

289

04 июн 2022, 02:25

Выяснить сходимость несобственных интегралов

в форуме Интегральное исчисление

Lilium

4

331

28 окт 2022, 09:55


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved