Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Вычислить площадь
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=20511
Страница 1 из 1

Автор:  kiss_of_life [ 16 дек 2012, 17:12 ]
Заголовок сообщения:  Вычислить площадь

Уважаемы форумчане, помогите, пожалуйста, определить области интегрирования для площади каждого кусочка фигуры!
[math]\iint\limits_{S}x(y+z)dxdy+y^{2}dzdx[/math]
[math]x^{2}+y^{2}\leqslant 2x[/math], [math]0 \leqslant z \leqslant 1-x[/math]

Получилась следующая поверхность:
Вложение:
.png
.png [ 9.01 Кб | Просмотров: 298 ]

Пусть S1 -основание - красная, S2 - боковая - желтая, S3 - сечение плоскостью - штриховка.

Я составила для D1:[math]\left\{\!\begin{aligned}& 0 \leqslant x \leqslant 1 \\ & z=0 \\ & -\sqrt{1-(x-1)^{2}}\leqslant y \leqslant \sqrt{1-(x-1)^{2}}\end{aligned}\right.[/math]
Правильно ли это? а то при подстановке в данный интеграл получается ноль...

А для D2 и D3 запуталась
Помогите, пожалуйста, с определением областей интегрирования!

Автор:  Human [ 16 дек 2012, 17:43 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить площадь

А формулой Гаусса-Остроградского что ли нельзя пользоваться?

Автор:  kiss_of_life [ 16 дек 2012, 18:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить площадь

Human
нет, преподаватель сказал, что без Гаусса-Остроградского:(

Автор:  Human [ 16 дек 2012, 19:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить площадь

Для параметризации поверхности цилиндра можно перейти к следующим координатам, получающимся смещением из цилиндрических:

[math]x=1+\cos\varphi,\ y=\sin\varphi,\ z=h,\ 0\leqslant\varphi<2\pi[/math]

Тогда в этих координатах цилиндр превращается в бесконечную полоску шириной [math]2\pi[/math]. Судя по графику в исходных координатах, нас интересует только часть полоски, где [math]0<h<1,\ \frac{\pi}2<\varphi<\frac{3\pi}2[/math]. Пересечение цилиндра с плоскостью [math]z=1-x[/math] задаётся уравнением [math]h=-\cos\varphi[/math]. Отсюда получаем границы: [math]\frac{\pi}2<\varphi<\frac{3\pi}2,\ 0<h<-\cos\varphi[/math]. Далее нужно по известным формулам перейти от поверхностного интеграла второго рода к кратному интегралу по выписанной мною области.

Ну а плоскость [math]z=1-x[/math] параметризуется стандартным образом, например

[math]x=u,\ y=v,\ z=1-u[/math]

Пределы также очевидны: [math]0<u<1,\ -\sqrt{2u-u^2}<v<\sqrt{2u-u^2}[/math]. Затем снова переходим к кратному интегралу.

По формуле Гаусса-Остроградского было бы несравненно проще.

Автор:  kiss_of_life [ 16 дек 2012, 21:57 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить площадь

Извините, я никак не могу перейти к кратным интегралам:(
Подскажите, пожалуйста, правильно ли я это делаю для основания:
[math]\iint\limits_{Sxoy}xydxdy=\int\limits_{\pi|2}^{3 \pi |2}d \varphi \int\limits_{0}^{-cos \varphi}h^{2}(1+cos \varphi )sin\varphi dh[/math]

Автор:  Human [ 17 дек 2012, 11:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить площадь

kiss_of_life писал(а):
Извините, я никак не могу перейти к кратным интегралам:(
Подскажите, пожалуйста, правильно ли я это делаю для основания:
[math]\iint\limits_{Sxoy}xydxdy=\int\limits_{\pi|2}^{3 \pi |2}d \varphi \int\limits_{0}^{-cos \varphi}h^{2}(1+cos \varphi )sin\varphi dh[/math]


Не понял... Зачем Вы для основания используете цилиндрические координаты? Они нужны для параметризации боковой части цилиндра.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/