Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Интегралы
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=20459
Страница 1 из 1

Автор:  jagdish [ 14 дек 2012, 22:41 ]
Заголовок сообщения:  Интегралы

If [math]I(k) = \int_{0}^{\infty}\frac{\ln(x)}{x^2+kx+k^2}.[/math] Then [math]kI(k)-I(1) =[/math]

Автор:  Avgust [ 14 дек 2012, 23:36 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интегралы

[math]I(k) = \int_{0}^{\infty}\frac{\ln(x)}{x^2+kx+k^2}=\frac{2\pi \ln(k)}{3 \sqrt{3}\, k}[/math]

[math]k \cdot I(k)-I(1)=\frac{2\pi }{3 \sqrt{3}}\ln(k)[/math]

Изображение

Автор:  jagdish [ 15 дек 2012, 06:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интегралы

Thanks Avgust Got it.

[math]\bf{\mathbb{I(\bold{k})}=\int_{0}^{\infty}\frac{\ln(x)}{x^2+kx+k^2}dx.................(1)}[/math]

Put [math]\bf{x=kt\Leftrightarrow dx = kdt}[/math] and Changing Limits, We Get

[math]\bf{\mathbb{I(\bold{k})}=\int_{0}^{\infty}\frac{\ln(kt).kdt}{k^2(t^2+t+1)}dt}[/math]

[math]\bf{\mathbb{\bold{k}.I(\bold{k})}=\int_{0}^{\infty}\frac{\ln(k)}{t^2+t+1}dt+\int_{0}^{\infty}\frac{\ln(t)}{t^2+t+1}dt}[/math]

[math]\bf{\mathbb{\bold{k}.I(\bold{k})}=\ln(k).\int_{0}^{\infty}\frac{1}{t^2+t+1}dt+\mathbb{I(\bold{1})}}[/math]

Using eqation [math]\bf{(1)\;\;,}[/math] Put [math]\bf{k=1}[/math] in eqn...[math]\bf{(1)}[/math]

We Get [math]\bf{I(\bold{1})=\int_{0}^{\infty}\frac{\ln(x)}{x^2+x+1}=\int_{0}^{\infty}\frac{\ln(t)}{t^2+t+1}\right)}[/math]

So [math]\bf{\mathbb{\bold{k}.I(\bold{k})}-I(1)=\bf{\ln(k)\int_{0}^{\infy}\frac{1}{t^2+t+1}dt}}[/math]

[math]\bf{=\ln(k)\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\left(t+\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}dt=\ln(k).\frac{2}{\sqrt{3}}.\tan^{-1}\left(\frac{2t+1}{\sqrt{3}}\right)\bigg|_{0}^{\frac{\infty}}}[/math]

[math]\bf{=\ln(k).\frac{2}{\sqrt{3}}\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=\ln(k).\frac{2\pi}{3\sqrt{3}}}[/math]

So [math]\boxed{\boxed{\bf{\mathbb{\bold{k}.I(\bold{k})}-I(\bold{1})=\frac{2\pi}{3\sqrt{3}}.ln(k)}}}[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/