Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Вычислить объем тела
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=20358
Страница 1 из 1

Автор:  olga_budilova [ 12 дек 2012, 00:24 ]
Заголовок сообщения:  Вычислить объем тела

Помогите пожалуйста с данными заданиями
Изображение

Автор:  Alexdemath [ 12 дек 2012, 03:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить объем тела

В первом примере заданные поверхности не образуют замкнутого тела. Вы что-то не дописали.

Второе задание неоднозначно. Если имеется ввиду объём внутри конуса, то, в виду симметрии, достаточно рассмотреть случай для [math]z\geqslant0[/math] и умножить результат на 2.

Решая уравнений поверхностей относительно [math]x^2+y^2[/math] как систему, найдёте [math]x^2+y^2=12[/math]
То есть проекцией тела на плоскость [math]Oxy[/math] является окружность радиуса [math]\sqrt{12}[/math] с центром в начале координат.

[math]T = \left\{x^2+y^2\leqslant 12,~ \frac{1}{\sqrt3}\sqrt{x^2+y^2}\leqslant z \leqslant \sqrt{16 -x^2-y^2}\right\}[/math]

Перейдём в цилиндрические координаты [math]\left\{\begin{gathered}x = r \cos \varphi , \hfill \\ y = r \sin \varphi , \hfill \\ z = z. \hfill \\ \end{gathered}\right.[/math]

[math]T^{\ast}= \left\{{0 \leqslant \varphi \leqslant 2\pi ,~0 \leqslant r \leqslant \sqrt{12},~\frac{r}{{\sqrt 3}}\leqslant z \leqslant \sqrt{16 -{r^2}}}\right\}[/math]

Итак, вычислим искомый объём тела

[math]V = 2\iiint\limits_T dxdydz = 2\iiint\limits_{T^{\ast}}r\,drd\varphi dz= 2\int\limits_0^{2\pi}d\varphi \int\limits_0^{\sqrt{12}}r\,dr \int\limits_{\tfrac{r}{\sqrt3}}^{\sqrt{16-r^2}}dz= 4\pi \int\limits_0^{\sqrt{12}}\!\left({r\sqrt{16-r^2}-\frac{r^2}{\sqrt3}\right)\!dr= \ldots = \frac{128}{3}\pi[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/