Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Тройной интеграл по области V
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=20329
Страница 1 из 1

Автор:  Koxypo [ 11 дек 2012, 15:00 ]
Заголовок сообщения:  Тройной интеграл по области V

Изображение


Изображение

Помогите пожалуйста разобраться. Для начала хотя бы как изобразить это графически что-ли :)

Автор:  vvvv [ 11 дек 2012, 21:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Тройной интеграл по области V

Картинка в помощь.
Изображение

Автор:  Alexdemath [ 11 дек 2012, 23:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Тройной интеграл по области V

Приравняйте правые части уравнений с [math]z[/math], тогда, решив полученное уравнение, найдёте пределы для [math]y[/math]

[math]y^2+ 1 = 5 - 2y^2~ \Leftrightarrow~ 3y^2 = 4 \Rightarrow~ y_{1,2}= \pm \frac{2}{\sqrt3}[/math]

Тогда область интегрирования можно записать в следующем виде

[math]V = \left\{2 \leqslant x \leqslant 5,\, - \frac{2}{\sqrt3}\leqslant y \leqslant \frac{2}{\sqrt3},~ y^2+ 1 \leqslant z \leqslant 5 - 2y^2\right\}[/math]

[math]\begin{aligned}\iiint\limits_V f(x,y,z)\,dxdydz &= \int\limits_2^5{dx}\int\limits_{- \frac{2}{{\sqrt 3}}}^{\frac{2}{{\sqrt 3}}}{dy}\int\limits_{{y^2}+ 1}^{5 - 2{y^2}}{({x^2}+{y^2}- z)dz}= \int\limits_2^5{dx}\int\limits_{- \frac{2}{{\sqrt 3}}}^{\frac{2}{{\sqrt 3}}}{dy}\left.{\left[{({x^2}+{y^2})z - \frac{1}{2}{z^2}}\right]}\right|_{z ={y^2}+ 1}^{z = 5 - 2{y^2}}= \\ &= \ldots = \int\limits_2^5{dx}\int\limits_{- \frac{2}{{\sqrt 3}}}^{\frac{2}{{\sqrt 3}}}{\left({4{x^2}- 12 + (15 - 3{x^2}){y^2}- \frac{9}{2}{y^4}}\right)dy}= \\ &= \int\limits_2^5{dx}\left.{\left[{(4x^2 - 12)y + \frac{15 - 3x^2}{3}y^3 - \frac{9}{{10}}{y^5}}\right]}\right|_{y = - \frac{2}{{\sqrt 3}}}^{y = \frac{2}{{\sqrt 3}}}= \ldots = \\ &= \frac{{32}}{{15\sqrt 3}}\int\limits_2^5 (5x^2 - 13)\,dx= \ldots = \frac{1664}{5\sqrt3}\end{aligned}[/math]

Автор:  Koxypo [ 12 дек 2012, 14:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: Тройной интеграл по области V

Alexdemath, спасибо огромное!
vvvv, спасибо. А в чем вы построили изображение?

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/