Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Интегралы
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=20325
Страница 1 из 1

Автор:  olga_budilova [ 11 дек 2012, 13:25 ]
Заголовок сообщения:  Интегралы

Друзья, помогите пожалуйста решить интегралы

Изображение

Автор:  Alexdemath [ 11 дек 2012, 20:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интегралы

В первом задании используйте полярные координаты [math]\begin{cases}x=r\cos\varphi,\\ y=r\sin\varphi.\end{cases}[/math]

[math]x^2+y^2-2y=0~ \to~ r^2\cos^2\varphi+r^2\sin^2\varphi-2r\sin\varphi=0~ \Rightarrow ~ r=2\sin\varphi[/math]

[math]x^2+y^2-10y=0~ \to~ r^2\cos^2\varphi+r^2\sin^2\varphi-10r\sin\varphi=0~ \Rightarrow ~ r=10\sin\varphi[/math]

[math]y\sqrt{3}=x~ \to~ r\sin\varphi\cdot\sqrt{3}=r\cos\varphi~ \Rightarrow~ \operatorname{tg}\varphi= \frac{1}{\sqrt{3}}~ \Rightarrow~ \varphi=\frac{\pi}{6}[/math]

[math]x=0~ \to~ r\cos\varphi=0~ \Rightarrow~ \varphi=\frac{\pi}{2}[/math]

[math]D^{\ast}= \left\{\frac{\pi}{6}\leqslant \varphi\leqslant \frac{\pi}{2},~ 2\sin\varphi\leqslant r\leqslant 10\sin\varphi\right\}[/math]

[math]S= \iint\limits_{D^{\ast}}r\,drd\varphi= \int\limits_{\pi\!\not{\phantom{|}}\,\,6}^{\pi\!\not{\phantom{|}}\,\,2}d\varphi \int\limits_{2\sin\varphi}^{10\sin\varphi}r\,dr= \ldots=6\sqrt{3}+8\pi[/math]

Автор:  Alexdemath [ 11 дек 2012, 20:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интегралы

Во втором задании запишите область интегрирования следующим образом

[math]\Omega= \bigl\{- 1 \leqslant y \leqslant 0,~0 \leqslant x \leqslant 2y, -\pi^2\leqslant z \leqslant 0\bigr\}[/math]

Тогда

[math]\begin{aligned}J &= \iiint\limits_{\Omega}y^2\cos \frac{\pi xy}{4}\,dxdydz= \int\limits_{-1}^0 y^2\,dy \int\limits_0^{2y}\cos\frac{\pi xy}{4}\,dx \int\limits_{-\pi^2}^0 dz = \\ &= \pi^2\int\limits_{-1}^0 y^2\,dy \int\limits_0^{2y}\frac{4}{\pi y}\cos \frac{\pi xy}{4}\,d_x\!\left(\frac{\pi xy}{4}\right) = 4\pi \int\limits_{-1}^0 y\,dy \left.{\sin \frac{\pi xy}{4}}\right|_{x = 0}^{x = 2y}= \\ &= 4\pi \int\limits_{-1}^0 y\sin \frac{\pi y^2}{2}\,dy = 4\int\limits_{- 1}^0 \sin \frac{\pi y^2}{2}\, d\!\left(\frac{\pi y^2}{2}\right)= \left.{-4\cos \frac{\pi y^2}{2}}\right|_{-1}^0 = \ldots= - 4 \\ \end{aligned}[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/