| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Интегралы http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=20325 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | olga_budilova [ 11 дек 2012, 13:25 ] |
| Заголовок сообщения: | Интегралы |
Друзья, помогите пожалуйста решить интегралы
|
|
| Автор: | Alexdemath [ 11 дек 2012, 20:14 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интегралы |
В первом задании используйте полярные координаты [math]\begin{cases}x=r\cos\varphi,\\ y=r\sin\varphi.\end{cases}[/math] [math]x^2+y^2-2y=0~ \to~ r^2\cos^2\varphi+r^2\sin^2\varphi-2r\sin\varphi=0~ \Rightarrow ~ r=2\sin\varphi[/math] [math]x^2+y^2-10y=0~ \to~ r^2\cos^2\varphi+r^2\sin^2\varphi-10r\sin\varphi=0~ \Rightarrow ~ r=10\sin\varphi[/math] [math]y\sqrt{3}=x~ \to~ r\sin\varphi\cdot\sqrt{3}=r\cos\varphi~ \Rightarrow~ \operatorname{tg}\varphi= \frac{1}{\sqrt{3}}~ \Rightarrow~ \varphi=\frac{\pi}{6}[/math] [math]x=0~ \to~ r\cos\varphi=0~ \Rightarrow~ \varphi=\frac{\pi}{2}[/math] [math]D^{\ast}= \left\{\frac{\pi}{6}\leqslant \varphi\leqslant \frac{\pi}{2},~ 2\sin\varphi\leqslant r\leqslant 10\sin\varphi\right\}[/math] [math]S= \iint\limits_{D^{\ast}}r\,drd\varphi= \int\limits_{\pi\!\not{\phantom{|}}\,\,6}^{\pi\!\not{\phantom{|}}\,\,2}d\varphi \int\limits_{2\sin\varphi}^{10\sin\varphi}r\,dr= \ldots=6\sqrt{3}+8\pi[/math] |
|
| Автор: | Alexdemath [ 11 дек 2012, 20:31 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интегралы |
Во втором задании запишите область интегрирования следующим образом [math]\Omega= \bigl\{- 1 \leqslant y \leqslant 0,~0 \leqslant x \leqslant 2y, -\pi^2\leqslant z \leqslant 0\bigr\}[/math] Тогда [math]\begin{aligned}J &= \iiint\limits_{\Omega}y^2\cos \frac{\pi xy}{4}\,dxdydz= \int\limits_{-1}^0 y^2\,dy \int\limits_0^{2y}\cos\frac{\pi xy}{4}\,dx \int\limits_{-\pi^2}^0 dz = \\ &= \pi^2\int\limits_{-1}^0 y^2\,dy \int\limits_0^{2y}\frac{4}{\pi y}\cos \frac{\pi xy}{4}\,d_x\!\left(\frac{\pi xy}{4}\right) = 4\pi \int\limits_{-1}^0 y\,dy \left.{\sin \frac{\pi xy}{4}}\right|_{x = 0}^{x = 2y}= \\ &= 4\pi \int\limits_{-1}^0 y\sin \frac{\pi y^2}{2}\,dy = 4\int\limits_{- 1}^0 \sin \frac{\pi y^2}{2}\, d\!\left(\frac{\pi y^2}{2}\right)= \left.{-4\cos \frac{\pi y^2}{2}}\right|_{-1}^0 = \ldots= - 4 \\ \end{aligned}[/math] |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|