| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Вычислить двойной интеграл заменой переменных http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=20286 |
Страница 1 из 2 |
| Автор: | dollemika [ 10 дек 2012, 17:22 ] |
| Заголовок сообщения: | Вычислить двойной интеграл заменой переменных |
Здравствуйте! Скажите пожалуйста, правильно ли я решаю данное задание? Дело в том, что когда я заменяю исходный интеграл суммой двух повторных по dvdu, получаю в результате ответ ноль. Может ли такое быть? Или где-то ошибка?
|
|
| Автор: | Human [ 10 дек 2012, 22:28 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить двойной интеграл заменой переменных |
Во-первых, где, собственно, сама замена в интеграле? Во-вторых, для чего Вы ищете область значений [math]u[/math]? В-третьих, зачем Вы рассматриваете [math]v\in\left[-\pi;-\frac{\pi}2\right][/math], если [math]x\geqslant0[/math]? |
|
| Автор: | dollemika [ 11 дек 2012, 10:32 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить двойной интеграл заменой переменных |
Human писал(а): Во-первых, где, собственно, сама замена в интеграле? ![]() ![]() Human писал(а): Во-вторых, для чего Вы ищете область значений ? Для того, чтобы найти пределы интегрирования по u. А нужно по другому? Human писал(а): В-третьих, зачем Вы рассматриваете [math]v\in\left[-\pi;-\frac{\pi}{2}\right][/math], если [math]x\geqslant0[/math]? Так в том то и дело, что u тоже может влиять на знак, по идее? И когда оно отрицательно, промежуток [math]v\in\left[-\pi;-\frac{\pi}{2}\right][/math] удовлетворяет условию [math]x\geqslant0[/math] |
|
| Автор: | Human [ 11 дек 2012, 19:49 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить двойной интеграл заменой переменных |
dollemika писал(а): Для того, чтобы найти пределы интегрирования по u. А нужно по другому? Естественно. Скажем, Вам нужно найти площадь подграфика параболы [math]y=x^2[/math] при [math]0<x<1[/math]. Значения [math]y[/math] тоже меняются от [math]0[/math] до [math]1[/math]. Но это не значит же, что нужно интегрировать по квадрату [math](0,1)\times(0,1)[/math]. dollemika писал(а): Так в том то и дело, что u тоже может влиять на знак, по идее? В обобщённых полярных координатах (а Вы перешли именно к ним) принимается [math]u\geqslant0[/math]. Кроме того, если даже и считать [math]u[/math] отрицательным, то, например, точка [math]\left(-1,-\frac{3\pi}4\right)[/math] совпадает с точкой [math]\left(1,\frac{\pi}4\right)[/math], в итоге Вы два раза проинтегрируете по одной и той же области. |
|
| Автор: | dollemika [ 11 дек 2012, 20:21 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить двойной интеграл заменой переменных |
Human писал(а): в итоге Вы два раза проинтегрируете по одной и той же области. Вот из этого я поняла, что нужно оставить только интеграл на промежутке от 0 до pi/2. Тогда решается проблема нулевого ответа. Но вот это dollemika писал(а): Для того, чтобы найти пределы интегрирования по u. А нужно по другому? Human писал(а): Естественно... наталкивает на мысль, что сама замена выполнена не верно? Я имею ввиду, что неверно будет просто оставить первый интеграл после равно в кружочке? Но, а что тогда не так, не пойму?
|
|
| Автор: | Human [ 11 дек 2012, 20:33 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить двойной интеграл заменой переменных |
Вы не поняли намёк с параболой? Вот как Вы рассуждаете: [math]x[/math] меняется от [math]0[/math] до [math]1[/math], значит [math]y[/math] меняется от [math]0[/math] до [math]1[/math]. Значит площадь подграфика параболы [math]y=x^2[/math] это интеграл [math]\int\limits_0^1\,dy\int\limits_0^1\,dx[/math] Это верно? |
|
| Автор: | dollemika [ 11 дек 2012, 20:46 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить двойной интеграл заменой переменных |
Human писал(а): Вот как Вы рассуждаете: Я рассуждаю так: у нас есть промежуток [math]v[/math], и нам нужно найти промежуток, на котором определено u с помощью уравнения [math]u=2\sin{v}\cos^2{v}[/math], и подставить границы этих промежутков, как пределы интегрирования. Вот я это и пытаюсь сделать... |
|
| Автор: | Human [ 11 дек 2012, 21:03 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить двойной интеграл заменой переменных |
dollemika писал(а): Я рассуждаю так: у нас есть промежуток v, и нам нужно найти промежуток, на котором определено u с помощью уравнения [math]u=2\sin{v}\cos^2{v}[/math], и подставить границы этих промежутков, как пределы интегрирования. Вот я это и пытаюсь сделать... А теперь примените (ради меня) этот алгоритм к вычислению интеграла [math]\iint_D\,dvdu[/math] по области [math]D\colon u>0, v<1, u<v^2[/math], который должен совпадать с площадью этой области. У Вас здесь тоже есть промежуток [math]0<v<1[/math] и уравнение [math]u=v^2[/math]. И Вы увидите, что интегрируете таким образом не по нужной области, а по минимальному прямоугольнику, который эту область содержит. |
|
| Автор: | dollemika [ 11 дек 2012, 21:11 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить двойной интеграл заменой переменных |
Human писал(а): И Вы увидите, что интегрируете таким образом не по нужной области, а по минимальному прямоугольнику, который эту область содержит. Да, вроде бы это поняла, но все равно не пойму, как сделать так, чтобы ушли лишние части этого прямоугольника? |
|
| Автор: | Human [ 11 дек 2012, 21:14 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить двойной интеграл заменой переменных |
Ну а как правильно надо брать интеграл для параболы? [math]\int_0^1\,dv\int_0^{v^2}\,du[/math] |
|
| Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|