Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Вычислить двойной интеграл заменой переменных
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=20286
Страница 1 из 2

Автор:  dollemika [ 10 дек 2012, 17:22 ]
Заголовок сообщения:  Вычислить двойной интеграл заменой переменных

Здравствуйте! Скажите пожалуйста, правильно ли я решаю данное задание?

Дело в том, что когда я заменяю исходный интеграл суммой двух повторных по dvdu, получаю в результате ответ ноль. Может ли такое быть? Или где-то ошибка?

Изображение

Автор:  Human [ 10 дек 2012, 22:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить двойной интеграл заменой переменных

Во-первых, где, собственно, сама замена в интеграле?
Во-вторых, для чего Вы ищете область значений [math]u[/math]?
В-третьих, зачем Вы рассматриваете [math]v\in\left[-\pi;-\frac{\pi}2\right][/math], если [math]x\geqslant0[/math]?

Автор:  dollemika [ 11 дек 2012, 10:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить двойной интеграл заменой переменных

Human писал(а):
Во-первых, где, собственно, сама замена в интеграле?


Изображение
Изображение

Human писал(а):
Во-вторых, для чего Вы ищете область значений ?


Для того, чтобы найти пределы интегрирования по u. А нужно по другому?

Human писал(а):
В-третьих, зачем Вы рассматриваете [math]v\in\left[-\pi;-\frac{\pi}{2}\right][/math], если [math]x\geqslant0[/math]?


Так в том то и дело, что u тоже может влиять на знак, по идее? И когда оно отрицательно, промежуток [math]v\in\left[-\pi;-\frac{\pi}{2}\right][/math] удовлетворяет условию [math]x\geqslant0[/math]

Автор:  Human [ 11 дек 2012, 19:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить двойной интеграл заменой переменных

dollemika писал(а):
Для того, чтобы найти пределы интегрирования по u. А нужно по другому?


Естественно. Скажем, Вам нужно найти площадь подграфика параболы [math]y=x^2[/math] при [math]0<x<1[/math]. Значения [math]y[/math] тоже меняются от [math]0[/math] до [math]1[/math]. Но это не значит же, что нужно интегрировать по квадрату [math](0,1)\times(0,1)[/math].

dollemika писал(а):
Так в том то и дело, что u тоже может влиять на знак, по идее?


В обобщённых полярных координатах (а Вы перешли именно к ним) принимается [math]u\geqslant0[/math]. Кроме того, если даже и считать [math]u[/math] отрицательным, то, например, точка [math]\left(-1,-\frac{3\pi}4\right)[/math] совпадает с точкой [math]\left(1,\frac{\pi}4\right)[/math], в итоге Вы два раза проинтегрируете по одной и той же области.

Автор:  dollemika [ 11 дек 2012, 20:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить двойной интеграл заменой переменных

Human писал(а):
в итоге Вы два раза проинтегрируете по одной и той же области.

Вот из этого я поняла, что нужно оставить только интеграл на промежутке от 0 до pi/2. Тогда решается проблема нулевого ответа.

Но вот это
dollemika писал(а):
Для того, чтобы найти пределы интегрирования по u. А нужно по другому?

Human писал(а):
Естественно...

наталкивает на мысль, что сама замена выполнена не верно? Я имею ввиду, что неверно будет просто оставить первый интеграл после равно в кружочке? Но, а что тогда не так, не пойму? :(

Автор:  Human [ 11 дек 2012, 20:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить двойной интеграл заменой переменных

Вы не поняли намёк с параболой?
Вот как Вы рассуждаете: [math]x[/math] меняется от [math]0[/math] до [math]1[/math], значит [math]y[/math] меняется от [math]0[/math] до [math]1[/math]. Значит площадь подграфика параболы [math]y=x^2[/math] это интеграл

[math]\int\limits_0^1\,dy\int\limits_0^1\,dx[/math]

Это верно?

Автор:  dollemika [ 11 дек 2012, 20:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить двойной интеграл заменой переменных

Human писал(а):
Вот как Вы рассуждаете:

Я рассуждаю так: у нас есть промежуток [math]v[/math], и нам нужно найти промежуток, на котором определено u с помощью уравнения [math]u=2\sin{v}\cos^2{v}[/math], и подставить границы этих промежутков, как пределы интегрирования. Вот я это и пытаюсь сделать...

Автор:  Human [ 11 дек 2012, 21:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить двойной интеграл заменой переменных

dollemika писал(а):
Я рассуждаю так: у нас есть промежуток v, и нам нужно найти промежуток, на котором определено u с помощью уравнения [math]u=2\sin{v}\cos^2{v}[/math], и подставить границы этих промежутков, как пределы интегрирования. Вот я это и пытаюсь сделать...


А теперь примените (ради меня) этот алгоритм к вычислению интеграла [math]\iint_D\,dvdu[/math] по области [math]D\colon u>0, v<1, u<v^2[/math], который должен совпадать с площадью этой области. У Вас здесь тоже есть промежуток [math]0<v<1[/math] и уравнение [math]u=v^2[/math]. И Вы увидите, что интегрируете таким образом не по нужной области, а по минимальному прямоугольнику, который эту область содержит.

Автор:  dollemika [ 11 дек 2012, 21:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить двойной интеграл заменой переменных

Human писал(а):
И Вы увидите, что интегрируете таким образом не по нужной области, а по минимальному прямоугольнику, который эту область содержит.

Да, вроде бы это поняла, но все равно не пойму, как сделать так, чтобы ушли лишние части этого прямоугольника?

Автор:  Human [ 11 дек 2012, 21:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить двойной интеграл заменой переменных

Ну а как правильно надо брать интеграл для параболы?

[math]\int_0^1\,dv\int_0^{v^2}\,du[/math]

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/