Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Вычислить двойной интеграл заменой переменных
СообщениеДобавлено: 10 дек 2012, 17:22 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
23 ноя 2011, 21:55
Сообщений: 58
Cпасибо сказано: 21
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте! Скажите пожалуйста, правильно ли я решаю данное задание?

Дело в том, что когда я заменяю исходный интеграл суммой двух повторных по dvdu, получаю в результате ответ ноль. Может ли такое быть? Или где-то ошибка?

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить двойной интеграл заменой переменных
СообщениеДобавлено: 10 дек 2012, 22:28 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Во-первых, где, собственно, сама замена в интеграле?
Во-вторых, для чего Вы ищете область значений [math]u[/math]?
В-третьих, зачем Вы рассматриваете [math]v\in\left[-\pi;-\frac{\pi}2\right][/math], если [math]x\geqslant0[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
dollemika, mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить двойной интеграл заменой переменных
СообщениеДобавлено: 11 дек 2012, 10:32 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
23 ноя 2011, 21:55
Сообщений: 58
Cпасибо сказано: 21
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human писал(а):
Во-первых, где, собственно, сама замена в интеграле?


Изображение
Изображение

Human писал(а):
Во-вторых, для чего Вы ищете область значений ?


Для того, чтобы найти пределы интегрирования по u. А нужно по другому?

Human писал(а):
В-третьих, зачем Вы рассматриваете [math]v\in\left[-\pi;-\frac{\pi}{2}\right][/math], если [math]x\geqslant0[/math]?


Так в том то и дело, что u тоже может влиять на знак, по идее? И когда оно отрицательно, промежуток [math]v\in\left[-\pi;-\frac{\pi}{2}\right][/math] удовлетворяет условию [math]x\geqslant0[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить двойной интеграл заменой переменных
СообщениеДобавлено: 11 дек 2012, 19:49 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
dollemika писал(а):
Для того, чтобы найти пределы интегрирования по u. А нужно по другому?


Естественно. Скажем, Вам нужно найти площадь подграфика параболы [math]y=x^2[/math] при [math]0<x<1[/math]. Значения [math]y[/math] тоже меняются от [math]0[/math] до [math]1[/math]. Но это не значит же, что нужно интегрировать по квадрату [math](0,1)\times(0,1)[/math].

dollemika писал(а):
Так в том то и дело, что u тоже может влиять на знак, по идее?


В обобщённых полярных координатах (а Вы перешли именно к ним) принимается [math]u\geqslant0[/math]. Кроме того, если даже и считать [math]u[/math] отрицательным, то, например, точка [math]\left(-1,-\frac{3\pi}4\right)[/math] совпадает с точкой [math]\left(1,\frac{\pi}4\right)[/math], в итоге Вы два раза проинтегрируете по одной и той же области.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
dollemika
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить двойной интеграл заменой переменных
СообщениеДобавлено: 11 дек 2012, 20:21 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
23 ноя 2011, 21:55
Сообщений: 58
Cпасибо сказано: 21
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human писал(а):
в итоге Вы два раза проинтегрируете по одной и той же области.

Вот из этого я поняла, что нужно оставить только интеграл на промежутке от 0 до pi/2. Тогда решается проблема нулевого ответа.

Но вот это
dollemika писал(а):
Для того, чтобы найти пределы интегрирования по u. А нужно по другому?

Human писал(а):
Естественно...

наталкивает на мысль, что сама замена выполнена не верно? Я имею ввиду, что неверно будет просто оставить первый интеграл после равно в кружочке? Но, а что тогда не так, не пойму? :(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить двойной интеграл заменой переменных
СообщениеДобавлено: 11 дек 2012, 20:33 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вы не поняли намёк с параболой?
Вот как Вы рассуждаете: [math]x[/math] меняется от [math]0[/math] до [math]1[/math], значит [math]y[/math] меняется от [math]0[/math] до [math]1[/math]. Значит площадь подграфика параболы [math]y=x^2[/math] это интеграл

[math]\int\limits_0^1\,dy\int\limits_0^1\,dx[/math]

Это верно?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
dollemika
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить двойной интеграл заменой переменных
СообщениеДобавлено: 11 дек 2012, 20:46 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
23 ноя 2011, 21:55
Сообщений: 58
Cпасибо сказано: 21
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human писал(а):
Вот как Вы рассуждаете:

Я рассуждаю так: у нас есть промежуток [math]v[/math], и нам нужно найти промежуток, на котором определено u с помощью уравнения [math]u=2\sin{v}\cos^2{v}[/math], и подставить границы этих промежутков, как пределы интегрирования. Вот я это и пытаюсь сделать...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить двойной интеграл заменой переменных
СообщениеДобавлено: 11 дек 2012, 21:03 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
dollemika писал(а):
Я рассуждаю так: у нас есть промежуток v, и нам нужно найти промежуток, на котором определено u с помощью уравнения [math]u=2\sin{v}\cos^2{v}[/math], и подставить границы этих промежутков, как пределы интегрирования. Вот я это и пытаюсь сделать...


А теперь примените (ради меня) этот алгоритм к вычислению интеграла [math]\iint_D\,dvdu[/math] по области [math]D\colon u>0, v<1, u<v^2[/math], который должен совпадать с площадью этой области. У Вас здесь тоже есть промежуток [math]0<v<1[/math] и уравнение [math]u=v^2[/math]. И Вы увидите, что интегрируете таким образом не по нужной области, а по минимальному прямоугольнику, который эту область содержит.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
dollemika
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить двойной интеграл заменой переменных
СообщениеДобавлено: 11 дек 2012, 21:11 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
23 ноя 2011, 21:55
Сообщений: 58
Cпасибо сказано: 21
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human писал(а):
И Вы увидите, что интегрируете таким образом не по нужной области, а по минимальному прямоугольнику, который эту область содержит.

Да, вроде бы это поняла, но все равно не пойму, как сделать так, чтобы ушли лишние части этого прямоугольника?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить двойной интеграл заменой переменных
СообщениеДобавлено: 11 дек 2012, 21:14 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ну а как правильно надо брать интеграл для параболы?

[math]\int_0^1\,dv\int_0^{v^2}\,du[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
dollemika
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 13 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Как вычислить интеграл заменой переменной

в форуме Интегральное исчисление

Andrey Egorov

6

216

19 янв 2020, 18:15

Вычислить двойной интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Arno

0

635

13 апр 2015, 01:19

Вычислить двойной интеграл

в форуме Интегральное исчисление

alisa_semchenkova

1

248

03 май 2018, 16:55

Вычислить двойной интеграл

в форуме Интегральное исчисление

vasiliy456789

12

283

05 ноя 2020, 16:11

Вычислить двойной интеграл

в форуме Интегральное исчисление

gvazartin

11

438

06 ноя 2020, 17:27

Вычислить двойной интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Gofik

1

251

31 май 2017, 00:41

Вычислить двойной интеграл

в форуме Интегральное исчисление

351w

6

222

05 июн 2020, 17:32

Вычислить двойной интеграл

в форуме Интегральное исчисление

glamurka250

1

210

30 май 2017, 18:56

Вычислить двойной интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Arno

1

249

22 апр 2015, 02:42

Вычислить двойной интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Vlader0n

4

925

06 янв 2017, 16:36


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved